Sendo f(x)=log 3(ln x^2), determine lim x 1^- f^prime(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=log3l(ln(x^2)r)
e pede o valor de limxto1^-f'(x). Vamos usar cálculo de derivada de função composta e mudança de base de logaritmo.

Passo 2

Antes de derivar, observamos o domínio de f. Como é preciso ln(x^2)>0, temos
x^2>1Longrightarrow |x|>1
Portanto f só está definida para x>1 e para x<-1. Não existe nenhum ponto do domínio que se aproxime de 1 pela esquerda, de modo que limxto1^-f'(x) não faz sentido no domínio real de f.

Passo 3

Se interpretarmos o problema como o comportamento de f'(x) em valores próximos de 1 dentro do domínio, devemos considerar o limite pela direita, isto é limxto1^+f'(x). Primeiro reescrevemos
f(x)=lnl(ln(x^2)r)ln3
e derivamos usando cadeias sucessivas:
f'(x) =1ln3,1ln(x^2),ddxl[ln(x^2)r] =1ln3,1ln(x^2),2x =2x,ln3,ln(x^2)

Passo 4

Agora analisamos
limxto1^+f'(x) =limxto1^+2x,ln3,ln(x^2)
Quando xto1^+ temos ln(x^2)to0^+ e xto1, logo o denominador tende a 0^+ e o numerador a 2. Portanto
limxto1^+f'(x)=+infty

Resposta

+infty (o limite diverge para mais infinito)

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