Mostre que os únicos valores possíveis dos números quânticos
definidos a partir da série
e que satisfazem a desigualdade
com
, são
,
se
ou
se
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem um momento orbital de módulo
e um spin
com
. Quando somamos esses vetores, o momento total
satisfaz a desigualdade triangular
O exercício pede para mostrar que, se
então os únicos
que cumprem
são
-
-
- e no caso
Conteúdo: adição de momentos angulares e desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade explicitando
e removendo o
(ele aparece em todos os termos, então cancela ao dividir):
$$\sqrt{j(j+1)};\ge;\bigl|\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{\tfrac12(\tfrac12+1)}\bigr|
=\bigl|\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{\tfrac34}\bigr|,.$$
A série de
é
Mas o menor valor de fisicamente permitido é
(para
), então só precisamos testar dois casos:
1) ,
2) .
Mas o menor valor de
1)
2)
Passo 3
Caso
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
$$j(j+1)=(\ell+\tfrac12)(\ell+\tfrac32)
=\ell^2+2\ell+0.75,.
(\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{0.75})^2
=\ell(\ell+1)+0.75-2\sqrt{0.75,\ell(\ell+1)},.$$
Então a diferença LHS–RHS é
Isso é sempre não-negativo para todo . Logo
satisfaz a desigualdade para todo
.
Então a diferença LHS–RHS é
Isso é sempre não-negativo para todo
Passo 4
Caso
(só faz sentido para
).
Calcule
Calcule
Diferença LHS–RHS:
Queremos que isso seja
$$2\sqrt{0.75,\ell(\ell+1)}\ge\ell+1 \quad\Longrightarrow\quad
4\cdot0.75,\ell(\ell+1)\ge(\ell+1)^2
\quad\Longrightarrow\quad
\quad\Longrightarrow\quad
3\ell(\ell+1)\ge(\ell+1)^2.
(\ell+1)(3\ell-(\ell+1))=(\ell+1)(2\ell-1)\ge0
;\Longrightarrow;\ell\ge\tfrac12.$$
Mas é inteiro
, então essa condição vira
.
Para não existe esse caso (nem faz sentido
).
Mas
Para
Passo 5
Conclusão:
- Sempre cai fora qualquer
abaixo de (pois nem satisfeito a desigualdade triangular de começo). -
funciona para todo . -
funciona só quando (isto é, ). - Se
, a única opção é .
Resposta
Os únicos valores possíveis são