Mostre que os únicos valores possíveis dos números quânticos j definidos a partir da série j= ell+1 / 2, ell-1 / 2, ell-3 / 2, ldots e que satisfazem a desigualdade raizj(j+1) hbar >=|raizell(ell+1) hbar-raizs(s+1) hbar| com s=1 / 2, são j=ell+1 / 2, ell-1 / 2 se ell neq 0 ou j=1 / 2 se ell=0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um momento orbital de módulo L=raizell(ell+1)hbar e um spin S=raizs(s+1)hbar com s=tfrac12. Quando somamos esses vetores, o momento total J satisfaz a desigualdade triangular
|L - S| <= raizj(j+1)hbar <= L + S,
O exercício pede para mostrar que, se j vem da série
j = ell+tfrac12,;ell-tfrac12,;ell-tfrac32,dots
então os únicos j que cumprem
raizj(j+1)hbar;>=;|,raizell(ell+1)hbar-raizs(s+1)hbar,|
são
- j=ell+tfrac12 sempre,
- j=ell-tfrac12 só se ellneq0,
- e no caso ell=0 sobra apenas j=tfrac12.
Conteúdo: adição de momentos angulares e desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade explicitando s=12 e removendo o hbar (ele aparece em todos os termos, então cancela ao dividir):
$$\sqrt{j(j+1)};\ge;\bigl|\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{\tfrac12(\tfrac12+1)}\bigr|
=\bigl|\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{\tfrac34}\bigr|,.$$
A série de raizj(j+1);>=;l|raizell(ell+1)-raiztfrac12(tfrac12+1)r| =l|raizell(ell+1)-raiztfrac34r|, é j
Mas o menor valor de ell+tfrac12,;ell-tfrac12,;ell-tfrac32,dots fisicamente permitido é j (para |ell-s|=ell-tfrac12), então só precisamos testar dois casos:
1) ell>=tfrac12,
2) j=ell+tfrac12.

Passo 3

Caso j=ell+tfrac12.
Calcule o lado esquerdo:
$$j(j+1)=(\ell+\tfrac12)(\ell+\tfrac32)
=\ell^2+2\ell+0.75,. j(j+1)=(ell+tfrac12)(ell+tfrac32) =ell^2+2ell+0.75, é(\sqrt{\ell(\ell+1)}-\sqrt{0.75})^2
=\ell(\ell+1)+0.75-2\sqrt{0.75,\ell(\ell+1)},.$$
Então a diferença LHS–RHS é
(raizell(ell+1)-raiz0.75)^2 =ell(ell+1)+0.75-2raiz0.75,ell(ell+1),
Isso é sempre não-negativo para todo (ell^2+2ell+0.75);-;(ell^2+ell+0.75-2raiz0.75,ell(ell+1)) =ell+2raiz0.75,ell(ell+1)>=0 . Logo ell>=0 satisfaz a desigualdade para todo j=ell+tfrac12.

Passo 4

Caso j=ell-tfrac12 (só faz sentido para ell>=tfrac12).
Calcule
j(j+1)=(ell-tfrac12)(ell+tfrac12)=ell^2-0.25,
Diferença LHS–RHS:
(ell^2-0.25);-;(ell^2+ell+0.75-2raiz0.75,ell(ell+1)) =-ell-1+2raiz0.75,ell(ell+1),
Queremos que isso seja >=0, ou seja
$$2\sqrt{0.75,\ell(\ell+1)}\ge\ell+1 \quad\Longrightarrow\quad
4\cdot0.75,\ell(\ell+1)\ge(\ell+1)^2
\quad\Longrightarrow\quad
3\ell(\ell+1)\ge(\ell+1)^2. 2raiz0.75,ell(ell+1)>=ell+1 Longrightarrow 4cdot0.75,ell(ell+1)>=(ell+1)^2 Longrightarrow 3ell(ell+1)>=(ell+1)^2(\ell+1)(3\ell-(\ell+1))=(\ell+1)(2\ell-1)\ge0
;\Longrightarrow;\ell\ge\tfrac12.$$
Mas (ell+1)(3ell-(ell+1))=(ell+1)(2ell-1)>=0 ;Longrightarrow;ell>=tfrac12 é inteiro ell, então essa condição vira >=0.
Para ell>=1 não existe esse caso (nem faz sentido ell=0).

Passo 5

Conclusão:
  • Sempre cai fora qualquer j abaixo de ell-tfrac12 (pois nem satisfeito a desigualdade triangular de começo).
  • j=ell+tfrac12 funciona para todo ell>=0.
  • j=ell-tfrac12 funciona só quando ell>=1 (isto é, ellneq0).
  • Se ell=0, a única opção é j=tfrac12.

Resposta

Os únicos valores possíveis são
j=ell+tfrac12(para todo ell), j=ell-tfrac12(se ellneq0), e, no caso ell=0,;j=tfrac12

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