Mostre que a hélice circular, cuja trajetória é dada pela curva
, definida por
tem curvatura e torção constantes, onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
Temos uma hélice circular parametrizada por
. O conteúdo aqui é geometria de curvas no espaço: vamos precisar de derivadas sucessivas, produto vetorial e fórmulas de curvatura e torção para curvas parametrizadas.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Passo 3
Para achar a curvatura usamos
Primeiro note que
O produto vetorial é
cujo módulo vale
Assim
constante.
Passo 4
Para a torção usamos
Temos
e
Logo
também constante.
Resposta
A curvatura é
e a torção é
, ambas constantes.