Mostre que a hélice circular, cuja trajetória é dada pela curva r, definida por
r(t)=(a cos t, a sen t, b t)
tem curvatura e torção constantes, onde a e b são constantes positivas.

Passo 1

Temos uma hélice circular parametrizada por r(t)=(acos t,,asin t,,b t). O conteúdo aqui é geometria de curvas no espaço: vamos precisar de derivadas sucessivas, produto vetorial e fórmulas de curvatura e torção para curvas parametrizadas.

Passo 2

Calculemos as derivadas de r:
r'(t)=(-asin t,,acos t,,b),
r''(t)=(-acos t,,-asin t,,0),
r'''(t)=(asin t,,-acos t,,0)

Passo 3

Para achar a curvatura usamos
kappa=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3
Primeiro note que
|r'(t)|=raiza^2sin^2t+a^2cos^2t+b^2=raiza^2+b^2
O produto vetorial é
r'(t)times r''(t)=(absin t,,-abcos t,,a^2),
cujo módulo vale
|r'times r''|=raiza^2b^2(a^2+b^2)=araiza^2+b^2
Assim
kappa=araiza^2+b^2(raiza^2+b^2)^3=aa^2+b^2,
constante.

Passo 4

Para a torção usamos
tau=(r'times r'')cdot r'''|r'times r''|^2
Temos
(r'times r'')cdot r'''=a^2b(sin^2t+cos^2t)=a^2b
e
|r'times r''|^2=(araiza^2+b^2)^2=a^2(a^2+b^2)
Logo
tau=a^2ba^2(a^2+b^2)=ba^2+b^2,
também constante.

Resposta

A curvatura é kappa=dfracaa^2+b^2 e a torção é tau=dfracba^2+b^2, ambas constantes.

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