Mostre que i cdot j=j cdot k=k cdot i=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que icdotj=jcdotk=kcdoti=0. Este exercício aborda o conteúdo de produto escalar de vetores ortonormais no R^3. Vamos usar a definição de produto escalar em termos das componentes dos vetores.

Passo 2

Representamos os vetores canônicos i, j e k pelas tuplas de suas componentes no R^3:
i = (1,,0,,0), j = (0,,1,,0), k = (0,,0,,1)

Passo 3

A definição do produto escalar entre dois vetores u = (u1,u2,u3) e v = (v1,v2,v3) no R^3 é
ucdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Passo 4

Aplicando a definição ao par i e j, temos
icdot j = 1cdot 0 + 0cdot 1 + 0cdot 0 = 0

Passo 5

De modo análogo, para os pares j e k e para k e i, obtemos
jcdot k = 0cdot 0 + 1cdot 0 + 0cdot 1 = 0, kcdot i = 0cdot 1 + 0cdot 0 + 1cdot 0 = 0

Resposta

icdotj = jcdotk = kcdoti = 0

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