Mostre que:
e^i pi=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
e^,ipi = -1
Isso faz parte do conteúdo de número complexos e séries de potências (ou “expansão em série de Taylor”). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Definir o que é quando é um número complexo (usando série).
  2. Reconhecer que, ao agrupar termos pares e ímpares dessa série, aparecem as séries de e .
  3. Avaliar o resultado em .

Passo 2

Primeiro, lembra que para um número real e^x = sumn=0^infty x^nn! a gente define
e^,i x ;=; sumn=0^infty (i x)^nn!
Essa definição vale de boa também quando vira um número complexo . Então, para (com real) temos
Aqui usamos a ideia de “série de potências”: uma soma infinita que, na prática, a gente aceita como a definição de .

Passo 3

Agora vamos olhar os termos dessa soma e separar em dois grupos:
  • Termos de índice (i x)^2k = i^2k,x^2k = (,-1)^k,x^2k, par ( sumk=0^infty (i x)^2k(2k)! = sumk=0^infty (,-1)^k,x^2k(2k)! = cos x, ).
  • Termos de índice (i x)^2k+1 = i^2k+1,x^2k+1 = icdot(,-1)^k,x^2k+1 ímpar ( sumk=0^infty (i x)^2k+1(2k+1)! = isumk=0^infty (,-1)^k,x^2k+1(2k+1)! = i,sin x, ).
  1. Quando boxede^,i x = cos x + i,sin x (par), temos
porque . Então os termos pares somam
pois essa é justamente a definição em série de potências de .
  1. Quando (ímpar),
Então os termos ímpares somam
que é a série de multiplicada por .
Juntando os dois grupos, a gente chega na famosa fórmula de Euler:

Passo 4

Agora é só escolher cospi = -1 e sinpi = 0, . Sabendo que
e^,ipi = cospi + i,sinpi = -1 + icdot 0 = -1
substituímos na fórmula de Euler:

Resposta

boxede^,ipi = -1

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