Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
Isso faz parte do conteúdo de número complexos e séries de potências (ou “expansão em série de Taylor”). Para resolver, a gente vai precisar:
- Definir o que é
quando é um número complexo (usando série). - Reconhecer que, ao agrupar termos pares e ímpares dessa série, aparecem as séries de
e . - Avaliar o resultado em
.
Passo 2
Primeiro, lembra que para um número real
a gente define
Essa definição vale de boa também quando
vira um número complexo
. Então, para
(com
real) temos
Aqui usamos a ideia de “série de potências”: uma soma infinita que, na prática, a gente aceita como a definição de
.
Passo 3
Agora vamos olhar os termos dessa soma e separar em dois grupos:
- Termos de índice
par ( ). - Termos de índice
ímpar ( ).
- Quando
(par), temos
porque
. Então os termos pares somam
pois essa é justamente a definição em série de potências de
.
- Quando
(ímpar),
Então os termos ímpares somam
que é a série de
multiplicada por
.
Juntando os dois grupos, a gente chega na famosa fórmula de Euler:
Passo 4
Agora é só escolher
. Sabendo que
substituímos na fórmula de Euler: