Sejam as séries de potências de
, a saber,
I) Série de Taylor:
II) Série de Maclaurin:
- Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
, ou
I) Série de Taylor:
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente desenvolver a função
como uma série de potências (Maclaurin, já que o centro é em 0).
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
O que vamos precisar:
- Derivar
para obter algo que a gente conheça como série famosa (a geométrica). - Integrar termo a termo pra voltar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a derivada:
Aí entramos com a série geométrica: para
,
Isso vem de
trocando
.
Passo 3
Agora a gente sabe que
Pra recuperar
, integramos de 0 a
termo a termo e lembramos que
:
Bastou calcular
.
Resposta
Trocando o índice
, encontramos
ou, escrevendo os primeiros termos,