Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    ln (1+x)=x-x^22+x^33-x^44+cdots, ou ln (1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente desenvolver a função
f(x)=ln(1+x)
como uma série de potências (Maclaurin, já que o centro é em 0).
Matéria envolvida: séries de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
O que vamos precisar:
  1. Derivar para obter algo que a gente conheça como série famosa (a geométrica).
  2. Integrar termo a termo pra voltar em .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a derivada:
f'(x)=ddxln(1+x)=11+x
Aí entramos com a série geométrica: para 11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n ,
Isso vem de trocando .

Passo 3

Agora a gente sabe que
f'(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^n
Pra recuperar ln(1+x) =integral0^x f'(t),dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^x t^n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1 , integramos de 0 a termo a termo e lembramos que :
Bastou calcular .

Resposta

Trocando o índice boxedln(1+x)=summ=1^infty(-1)^m-1,x^mm , encontramos
ln(1+x)=x-x^22+x^33-x^44+cdots
ou, escrevendo os primeiros termos,

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