Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    e^-x=1-x+x^22!-x^33!+ldots+(-1)^n x^nn!+ldots

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem aqui: precisamos desenvolver a função
f(x)=e^-x
numa série de potências, ou seja, usar a fórmula de Maclaurin (que é um caso especial da série de Taylor em torno de ).
Conteúdo envolvido: série de Maclaurin e derivadas de .
O que vamos precisar:
- A expressão geral da série de Maclaurin,
- As derivadas sucessivas de ,
- Avaliar essas derivadas em ,
- Identificar o padrão e montar a série.

Passo 2

A fórmula de Maclaurin diz
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Ou seja, a gente precisa descobrir para .

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de :
  • .
  • .
  • .
  • .
    Percebe o padrão? A cada derivada, o sinal troca.

Passo 4

Agora avaliamos cada uma em f^(n)(0)=(-1)^n, :
  • .
  • .
  • .
  • .
    Então, em geral,

Passo 5

Substituindo na série de Maclaurin:
e^-x =sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n =sumn=0^infty(-1)^nn!x^n =sumn=0^infty(-1)^nx^nn!

Resposta

Portanto, a expansão em série de potências de boxede^-x =1 - x + x^22! - x^33! + cdots + (-1)^nx^nn! + cdots é

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