Sejam as séries de potências de
, a saber,
I) Série de Taylor:
II) Série de Maclaurin:
- Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
I) Série de Taylor:
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem aqui: precisamos desenvolver a função
numa série de potências, ou seja, usar a fórmula de Maclaurin (que é um caso especial da série de Taylor em torno de
Conteúdo envolvido: série de Maclaurin e derivadas de
O que vamos precisar:
- A expressão geral da série de Maclaurin,
- As derivadas sucessivas de
- Avaliar essas derivadas em
- Identificar o padrão e montar a série.
Passo 2
A fórmula de Maclaurin diz
Ou seja, a gente precisa descobrir
para
.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de
:
-
. -
. -
. -
.
Percebe o padrão? A cada derivada, o sinal troca.
Passo 4
Agora avaliamos cada uma em
:
-
. -
. -
. -
.
Então, em geral,
Passo 5
Substituindo na série de Maclaurin:
Resposta
Portanto, a expansão em série de potências de
é