Sejam as séries de potências de x, a saber,
I) Série de Taylor:
& f(x)=f(a)+(x-a) f^prime(a)+(x-a)^22! f^prime prime(a)+cdots & =sumn=0^infty (x-a)^nn! f^(n)(a)
II) Série de Maclaurin:
f(x)=f(0)+x f^prime(0)+x^22! f^prime prime(0)+cdots=sumn=0^infty x^nn! f^(n)(0)
  • Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
    sen x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!,

Passo 1

Beleza, questão é: “Mostre que, ao desenvolver a função em série de potências (Maclaurin), a gente chega em
O conteúdo é série de Maclaurin (que é só a série de Taylor centrada em sen x=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)! ).
Para resolver vamos precisar:
  1. Saber a fórmula geral da série de Maclaurin: f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
  2. Calcular as derivadas de e avaliar cada uma em .

Passo 2

Primeiro, lembra que derivar sen e cos vai girando num ciclo:
  • , e daí repete.
Agora avalia em :

  • … e assim vai, zero sempre nos índices pares e nos ímpares conforme o ciclo.

Passo 3

Aí usamos a série de Maclaurin:
Substituindo os valores:
Ou seja:

Passo 4

Percebe o padrão?
  • Só aparecem potências ímpares sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)! .
  • Os sinais alternam , que é .
  • O fatorial no denominador é .
Pronto, a forma fechada disso é

Resposta

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