Sejam as séries de potências de
, a saber,
I) Série de Taylor:
II) Série de Maclaurin:
- Mostre que desenvolvendo as funções abaixo em séries de potências, estas são dadas por:
,
I) Série de Taylor:
Passo 1
Beleza, questão é: “Mostre que, ao desenvolver a função em série de potências (Maclaurin), a gente chega em
O conteúdo é série de Maclaurin (que é só a série de Taylor centrada em
).
Para resolver vamos precisar:
Para resolver vamos precisar:
- Saber a fórmula geral da série de Maclaurin:
- Calcular as derivadas de e avaliar cada uma em
.
Passo 2
Primeiro, lembra que derivar sen e cos vai girando num ciclo:
-
-
- , e daí repete.
Agora avalia em
:
-
-
… e assim vai, zero sempre nos índices pares enos ímpares conforme o ciclo.
Passo 3
Aí usamos a série de Maclaurin:
Substituindo os valores:
Ou seja:
Passo 4
Percebe o padrão?
- Só aparecem potências ímpares
. - Os sinais alternam
, que é . - O fatorial no denominador é
.
Pronto, a forma fechada disso é