Determine as raízes das seguintes equações: e^{z}=-\sqrt{3}+3 i.
Passo 1
O enunciado dá a equação \displaystyle e^{z} = -\sqrt{3} + 3i e pede: encontrar todas as soluções z complexas que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que temos: o lado direito é um número complexo com parte real -\sqrt{3} e parte imaginária 3. A incógnita z é um número complexo desconhecido.
Passo 2
Vamos escrever z na forma padrão de número complexo:
z = x + i y,
onde x e y são números reais (aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária). Usando a fórmula de Euler, temos
e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Explicando: e^{x} é o fator de módulo (positivo) e \cos y + i\sin y representa um número no círculo unitário com argumento y. Portanto, igualando com o número dado no enunciado, vamos igualar módulo e argumento separadamente.
Passo 3
Calculemos o módulo do número do lado direito. O módulo de -\sqrt{3}+3i é
A função \arctan(-\sqrt{3}) dá o valor principal -\tfrac{\pi}{3}, mas esse valor corresponde ao quadrante IV. Observando os sinais: a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva, portanto o ponto -\sqrt{3}+3i está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo com tangente -\sqrt{3} é
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Como \cos e \sin são 2\pi-periódicos, a solução geral para o argumento y é
y = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Passo 5
Juntando x e y obtemos todas as soluções z=x+iy:
z = \ln\big(2\sqrt{3}\big) + i\!\left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicando: o termo 2k\pi aparece porque a exponencial complexa é periódica em 2\pi i, ou seja, e^{i(y+2k\pi)}=e^{iy}.
Passo 6
Verificação rápida (para k=0): usamos \cos\frac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2} e \sin\frac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então