Determine as raízes das seguintes equações:
e^{z}=-\sqrt{3}+3 i.

Passo 1

O enunciado dá a equação \displaystyle e^{z} = -\sqrt{3} + 3i e pede: encontrar todas as soluções z complexas que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que temos: o lado direito é um número complexo com parte real -\sqrt{3} e parte imaginária 3. A incógnita z é um número complexo desconhecido.

Passo 2

Vamos escrever z na forma padrão de número complexo:
z = x + i y,
onde x e y são números reais (aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária). Usando a fórmula de Euler, temos
e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Explicando: e^{x} é o fator de módulo (positivo) e \cos y + i\sin y representa um número no círculo unitário com argumento y. Portanto, igualando com o número dado no enunciado, vamos igualar módulo e argumento separadamente.

Passo 3

Calculemos o módulo do número do lado direito. O módulo de -\sqrt{3}+3i é
\big|-\sqrt{3}+3i\big|=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Pela forma e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y), o módulo à esquerda é e^{x}. Logo devemos ter
e^{x}=2\sqrt{3}.
Tomando logaritmo natural (função inversa de e^{x}), obtemos
x=\ln\big(2\sqrt{3}\big).
Podemos também escrever x de forma expandida:
x=\ln 2 + \tfrac{1}{2}\ln 3.
Aqui usei que \ln(ab)=\ln a+\ln b e \ln(\sqrt{3})=\tfrac{1}{2}\ln 3.

Passo 4

Agora os argumentos. Do lado direito, o argumento \theta satisfaz
\tan\theta=\frac{\text{Im}}{\text{Re}}=\frac{3}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.
A função \arctan(-\sqrt{3}) dá o valor principal -\tfrac{\pi}{3}, mas esse valor corresponde ao quadrante IV. Observando os sinais: a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva, portanto o ponto -\sqrt{3}+3i está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo com tangente -\sqrt{3} é
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Como \cos e \sin são 2\pi-periódicos, a solução geral para o argumento y é
y = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Juntando x e y obtemos todas as soluções z=x+iy:
z = \ln\big(2\sqrt{3}\big) + i\!\left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicando: o termo 2k\pi aparece porque a exponencial complexa é periódica em 2\pi i, ou seja, e^{i(y+2k\pi)}=e^{iy}.

Passo 6

Verificação rápida (para k=0): usamos \cos\frac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2} e \sin\frac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
e^{x+ i\frac{2\pi}{3}} = e^{\ln(2\sqrt{3})}\Big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = 2\sqrt{3}\Big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -\sqrt{3}+3i,
confirma que a fórmula encontrada está correta. (Para outros k o fator e^{i2k\pi}=1 mantém a igualdade.)

Resposta

\displaystyle z = \ln\big(2\sqrt{3}\big) + i\!\left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}

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