Mostre a igualdade de Parseval: se f(z)=sumn=0^infty an(z-z0)^n e se |z-z0|=r, então (obviamente assumimos que a série converge absolutamente para |z-z0| <= r )
12 pi integral0^2 pi|f(z0+r e^i theta)|^2 d theta=sumn=0^infty|an|^2 r^2 n
Use isso para dar outra demonstração do Princípio do Módulo Máximo, Corolário 2.11.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(z) $ representada por uma série de potências centrada em $ z_0 $:
f(z)
A questão nos diz que para $ |z - z_{0}| = r $, a seguinte igualdade de Parseval deve ser demonstrada:
z0
Depois, precisamos usar essa igualdade para dar uma nova prova do Princípio do Módulo Máximo, especificamente o Corolário 2.11. Para isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências, integrais de funções complexas e o Princípio do Módulo Máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir $ f(z) $ no círculo de raio $ r $ ao redor de $ z_0 $:
f(z)
Aqui, usamos que $ z - z_{0} = r e^{i \theta} $ porque $ |z - z_{0}| = r $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo ao quadrado dessa função:
| f(z0 + r e^i theta) |^2 = | sumn=0^infty an r^n e^i n theta |^2
Para simplificar, lembramos que $ |A|^{2} = A \overline{A} $, onde $ \overline{A} $ é o conjugado de $ A $. Assim:
|A|^2 = A A

Passo 4

Multiplicando as séries, temos:
| f(z0 + r e^i theta) |^2 = sumn=0^infty summ=0^infty an am r^n+m e^i (n - m) theta
Agora, vamos integrar essa expressão de $ 0 $ a $ 2\pi $:
0

Passo 5

A integral $ \int_{0}^{2 \pi} e^{i (n - m) \theta} d\theta $ é igual a $ 0 $ quando $ n \neq m $ e a $ 2\pi $ quando $ n = m $. Portanto, a expressão simplifica para:
integral0^2 pi e^i (n - m) theta dtheta
Então, mostramos que:
0

Passo 6

Agora, vamos usar essa igualdade de Parseval para provar o Princípio do Módulo Máximo. O Princípio do Módulo Máximo nos diz que se uma função analítica em uma região aberta alcança seu máximo módulo no interior, então a função é constante.
Suponha que $ f(z) $ atinge seu máximo módulo em algum ponto interior ao domínio. Vamos escolher $ z_0 $ como esse ponto e $ r $ tal que $ |z - z_0| = r $ esteja dentro do domínio onde $ f(z) $ é analítica.
Pela igualdade de Parseval, temos:
f(z)
Se $ z_0 $ for um ponto onde $ |f(z)| $ alcança seu máximo, então $ |f(z_{0} + r e^{i \theta})| \leq |f(z_0)| $ para todo $ \theta $. Isso implica que:
z0

Passo 7

Observando a série $ \sum_{n=0}^{\infty} |a_{n}|^{2} r^{2n} $, para que essa soma seja menor ou igual a $ |f(z_0)|^{2} $, deve-se ter que todos os coeficientes $ a_{n} $ para $ n \geq 1 $ são zero. Isso porque se algum $ a_{n} $ fosse diferente de zero, a soma aumentaria conforme $ r > 0 $.
Portanto, a única possibilidade para que $ |f(z)| $ atinja seu máximo no interior é se $ a_{n} = 0 $ para todo $ n \geq 1 $, ou seja, $ f(z) = a_0 $ é constante.

Resposta

Portanto, utilizando a igualdade de Parseval, demonstramos que se uma função analítica atinge seu módulo máximo em um ponto interior, ela deve ser constante. Assim, provamos o Princípio do Módulo Máximo, Corolário 2.11.

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