Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a parte imaginária de
é igual a
. Para isso, vamos trabalhar com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Precisaremos expandir o numerador, simplificar a fração e identificar a parte imaginária do resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o quadrado de
. Usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
Aqui,
e
. Então:
Lembrando que
.
Passo 3
Agora, temos a expressão:
Para simplificar essa fração, vamos eliminar o número imaginário do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
:
Passo 4
Vamos multiplicar o numerador:
Lembrando que
, temos:
Agrupando os termos reais e imaginários:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar o denominador:
Pois
e os termos com
se cancelam.
Passo 6
Agora, a fração fica:
A parte imaginária dessa expressão é
, que pode ser fatorada: