Mostre que Im[(1-i raiz3)^2i-2]=2(1+2 raiz3)5.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a parte imaginária de (1 - iraiz3)^2i - 2 é igual a 2(1 + 2raiz3)5. Para isso, vamos trabalhar com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Precisaremos expandir o numerador, simplificar a fração e identificar a parte imaginária do resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o quadrado de 1 - iraiz3. Usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Aqui, a = 1 e b = iraiz3. Então:
(1 - iraiz3)^2 = 1^2 - 2 cdot 1 cdot iraiz3 + (iraiz3)^2 = 1 - 2iraiz3 + (i^2)(3) = 1 - 2iraiz3 - 3 = -2 - 2iraiz3
Lembrando que i^2 = -1.

Passo 3

Agora, temos a expressão:
-2 - 2iraiz3i - 2
Para simplificar essa fração, vamos eliminar o número imaginário do denominador. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de i - 2 é -i - 2:
-2 - 2iraiz3i - 2 cdot -i - 2-i - 2 = (-2 - 2iraiz3)(-i - 2)(i - 2)(-i - 2)

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador:
(-2)(-i) + (-2)(-2) + (-2iraiz3)(-i) + (-2iraiz3)(-2) = 2i + 4 + 2i^2raiz3 + 4iraiz3
Lembrando que i^2 = -1, temos:
2i + 4 - 2raiz3 + 4iraiz3
Agrupando os termos reais e imaginários:
(4 - 2raiz3) + (2 + 4raiz3)i

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o denominador:
(i)(-i) + (i)(-2) + (-2)(-i) + (-2)(-2) = -i^2 - 2i + 2i + 4 = 1 + 4 = 5
Pois i^2 = -1 e os termos com i se cancelam.

Passo 6

Agora, a fração fica:
(4 - 2raiz3) + (2 + 4raiz3)i5 = 4 - 2raiz35 + 2 + 4raiz35i
A parte imaginária dessa expressão é 2 + 4raiz35, que pode ser fatorada:
2(1 + 2raiz3)5

Resposta

Im[(1 - iraiz3)^2i - 2] = 2(1 + 2raiz3)5

Exercícios relacionados