[1,5 pt.] 1) Inverta a ordem e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e cálculo de integrais envolvendo radicais.
Passo 2
Descrevemos a região
no plano
:
Observamos que, para
, o mínimo de
varia de
a
e o máximo de
varia de
a
. Então
vai de
a
. Para um
fixo em
, as condições em
são
e
Como também
e
, ao comparar os três candidatos a limite inferior de
(que são
,
e
), achamos:
- Para
, o maior limite inferior é . - Para
, o maior limite inferior é .
O limite superior deé sempre . Assim a integral vira
Passo 3
Como
independe de
, cada integral interna é
Logo a integral fica
Passo 4
Calculamos separadamente:
-
.
Use, :
-
.
Somando
dá