[1,5 pt.] 1) Inverta a ordem e calcule a integral
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0} \int_{-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{1-x^{2}}}\sqrt{1-y^{2}}\,dy\,dx.
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e cálculo de integrais envolvendo radicais.

Passo 2

Descrevemos a região D no plano xy:
D=\bigl\{(x,y)\mid -\tfrac{1}{\sqrt2}\le x\le0,\;-x\le y\le\sqrt{1-x^2}\bigr\}.
Observamos que, para x\in[-1/\sqrt2,0], o mínimo de y varia de 0 a 1/\sqrt2 e o máximo de y varia de 1/\sqrt2 a 1. Então y vai de 0 a 1. Para um y fixo em [0,1], as condições em x são
-x\le y\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -y,
e
y\le\sqrt{1-x^2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -\sqrt{1-y^2},\quad x\le\sqrt{1-y^2}.
Como também x\le0 e -1/\sqrt2\le x, ao comparar os três candidatos a limite inferior de x (que são -y, -\sqrt{1-y^2} e -1/\sqrt2), achamos:
  • Para 0\le y\le1/\sqrt2, o maior limite inferior é x=-y.
  • Para 1/\sqrt2\le y\le1, o maior limite inferior é x=-\sqrt{1-y^2}.
    O limite superior de x é sempre 0. Assim a integral vira
\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt2}}\!\Bigl(\int_{-y}^{0}\sqrt{1-y^{2}}\,dx\Bigr)dy + \int_{\tfrac{1}{\sqrt2}}^{1}\!\Bigl(\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{0}\sqrt{1-y^{2}}\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Como \sqrt{1-y^2} independe de x, cada integral interna é
\int_{x=a}^{0}\sqrt{1-y^{2}}\,dx =\sqrt{1-y^{2}}\,(0-a).
Logo a integral fica
\int_{0}^{\frac1{\sqrt2}}y\sqrt{1-y^{2}}\,dy + \int_{\frac1{\sqrt2}}^{1}(1-y^{2})\,dy.

Passo 4

Calculamos separadamente:
  1. I_1=\displaystyle\int_{0}^{\tfrac1{\sqrt2}}y\sqrt{1-y^{2}}\,dy.
    Use u=1-y^2, du=-2y\,dy:
I_1=-\tfrac13\bigl(1-y^{2}\bigr)^{3/2}\Big|_{0}^{\tfrac1{\sqrt2}} =\Bigl(\tfrac{4-\sqrt2}{12}\Bigr).
  1. I_2=\displaystyle\int_{\tfrac1{\sqrt2}}^{1}(1-y^{2})\,dy.
I_2=\Bigl[y-\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{\frac1{\sqrt2}}^{1} =\frac{8-5\sqrt2}{12}.
Somando I_1+I_2
\frac{4-\sqrt2}{12}+\frac{8-5\sqrt2}{12} =\frac{12-6\sqrt2}{12} =1-\frac{\sqrt2}{2}.

Resposta

1-\tfrac{\sqrt2}{2}.

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