Mostre, por indução, que
.
Passo 1
O enunciado pede provar, por indução, que para todo
A ideia é mostrar primeiro o caso base e depois o passo de indução (hipótese de indução e prova para
).
Passo 2
Caso base (
):
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
e o lado direito é
Portanto, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo de indução: mostrar que a fórmula vale para
.
Começamos por
Começamos por
Pela hipótese de indução,
Escrevendo
e reunindo em um único quociente sobre 6:
Por outro lado, expandindo
obtemos exatamente
Logo
fechando o passo de indução.
Resposta
Para todo
, vale