Mostre, por indução, que
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{1}{6}\left(2 n^{3}+3 n^{2}+n\right).

Passo 1

O enunciado pede provar, por indução, que para todo n\in\mathbb{N}
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} = \frac{1}{6}\bigl(2n^{3}+3n^{2}+n\bigr).
A ideia é mostrar primeiro o caso base e depois o passo de indução (hipótese de indução e prova para n=k+1).

Passo 2

Caso base ( n=1):
O lado esquerdo é
1^{2}=1,
e o lado direito é
\frac{1}{6}\bigl(2\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}+1\bigr) =\frac{1}{6}(2+3+1)=\frac{6}{6}=1.
Portanto, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\ge1, valha
\sum_{i=1}^{k}i^{2} =\frac{1}{6}\bigl(2k^{3}+3k^{2}+k\bigr).

Passo 4

Passo de indução: mostrar que a fórmula vale para n=k+1.
Começamos por
\sum_{i=1}^{k+1}i^{2} =\sum_{i=1}^{k}i^{2}+(k+1)^{2}.
Pela hipótese de indução,
\sum_{i=1}^{k+1}i^{2} =\frac{1}{6}\bigl(2k^{3}+3k^{2}+k\bigr)+(k+1)^{2}.
Escrevendo (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1 e reunindo em um único quociente sobre 6:
\frac{1}{6}\bigl(2k^{3}+3k^{2}+k\bigr) +\frac{6(k^{2}+2k+1)}{6} =\frac{2k^{3}+3k^{2}+k+6k^{2}+12k+6}{6} =\frac{2k^{3}+9k^{2}+13k+6}{6}.
Por outro lado, expandindo
\frac{1}{6}\bigl(2(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+(k+1)\bigr)
obtemos exatamente
\frac{2k^{3}+9k^{2}+13k+6}{6}.
Logo
\sum_{i=1}^{k+1}i^{2} =\frac{1}{6}\bigl(2(k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+(k+1)\bigr),
fechando o passo de indução.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, vale
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} =\frac{1}{6}\bigl(2n^{3}+3n^{2}+n\bigr).

Exercícios relacionados