Mostre, por indução, que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que para todo inteiro
e para todo
vale
O conteúdo usado será indução matemática, monotonicidade de somas de termos positivos e soma de progressão geométrica.
Passo 2
Para qualquer
temos
. Como todos os termos
são positivos, acrescentar os termos de
até
só aumenta a soma. Logo
que é exatamente a primeira desigualdade desejada.
Passo 3
Base da indução (
).
À esquerda temos . À direita do meio também somamos até
, logo é
. E o termo da direita é
À esquerda temos
Portanto a cadeia
é verdadeira, provando o caso
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para certo
valha
Queremos mostrar então que
Passo 5
Separe a soma até
em duas partes:
Para cada
entre
e
vale
, então
E há precisamente
desses termos. Logo
Passo 6
Usando a hipótese indutiva e o resultado anterior, obtemos
Coloque
. Então
e a soma fica
Voltando a
no lugar de
, isso dá exatamente
que era o que queríamos provar para
.
Passo 7
Concluímos, por indução, que para todo
vale
Juntando com a monotonicidade da soma até
, obtemos toda a cadeia de desigualdades do enunciado.
Resposta
Por indução em
, mostramos que para todo
e todo