Mostre que
é par se, e somente se,
é par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um número natural
, vale a equivalência “
é par” se, e somente se, “
é par”. Vamos usar a definição de número par e o método de provar uma bicondicional dividindo em duas implicações.
Passo 2
Provar que se
é par então
é par.
Pela definição, “ é par” significa que existe
tal que
Pela definição, “
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Como
, concluímos que
é múltiplo de 2, isto é,
é par.
Passo 3
Provar que se
é par então
é par.
É mais direto usar a contrapositiva: se não fosse par (isto é, fosse ímpar), então mostraríamos que
também seria ímpar, o que contradiria a hipótese de
par.
“ é ímpar” significa que existe
tal que
É mais direto usar a contrapositiva: se
“
Então
que é da forma “
”, logo
é ímpar. Assim, provamos que se
é ímpar então
é ímpar. Pela contrapositiva, segue que se
é par então
é par.
Resposta
Mostramos as duas direções da equivalência. Portanto, para todo
,