Mostre que p \in \mathbb{N} é par se, e somente se, p^{2} é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um número natural p, vale a equivalência “ p é par” se, e somente se, “ p^{2} é par”. Vamos usar a definição de número par e o método de provar uma bicondicional dividindo em duas implicações.

Passo 2

Provar que se p é par então p^{2} é par.
Pela definição, “ p é par” significa que existe k\in\mathbb{N} tal que
p = 2k.
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
p^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2\bigl(2k^{2}\bigr).
Como 2k^{2}\in\mathbb{N}, concluímos que p^{2} é múltiplo de 2, isto é, p^{2} é par.

Passo 3

Provar que se p^{2} é par então p é par.
É mais direto usar a contrapositiva: se p não fosse par (isto é, fosse ímpar), então mostraríamos que p^{2} também seria ímpar, o que contradiria a hipótese de p^{2} par.
p é ímpar” significa que existe m\in\mathbb{N} tal que
p = 2m + 1.
Então
p^{2} = (2m+1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 2\bigl(2m^{2}+2m\bigr) + 1,
que é da forma “ 2(\text{algo}) + 1”, logo p^{2} é ímpar. Assim, provamos que se p é ímpar então p^{2} é ímpar. Pela contrapositiva, segue que se p^{2} é par então p é par.

Resposta

Mostramos as duas direções da equivalência. Portanto, para todo p\in\mathbb{N},
p\text{ é par} \quad\Longleftrightarrow\quad p^{2}\text{ é par}.éé

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