Sejam A um conjunto finito e B enumerável. Mostre que A \cup B é enumerá vel.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: A é um conjunto finito.
  • Dado: B é enumerável.
  • Pedido: mostrar que A\cup B é enumerável.
Aqui “enumerável” será usado no sentido usual: existe uma enumeração por uma sequência, isto é, existem elementos b_1,b_2,b_3,\dots (uma sequência indexada por \mathbb{N}) que listam todos os elementos de B. A enumeração pode repetir termos, mas o importante é que todo elemento de B apareça na sequência.

Passo 2

Lembrando definições e estratégias possíveis (explicação didática).
  • Conjunto finito: dizer que A é finito significa que existe um inteiro n\ge 0 e uma lista finita \{a_1,a_2,\dots,a_n\} que contém exatamente os elementos de A.
  • Conjunto enumerável: dizer que B é enumerável significa que existe uma sequência (b_k)_{k\in\mathbb{N}} tal que cada elemento de B aparece em algum b_k. Em termos de funções, existe f:\mathbb{N}\to B tal que f(\mathbb{N})=B (surjetiva); muitas vezes assume-se bijetora se B for infinito contável.
  • Estratégia: construir explicitamente uma sequência que enumere A\cup B. A ideia simples é primeiro listar os elementos de A (são finitos) e depois listar os elementos da enumeração de B. Precisamos só observar que repetições não atrapalham a propriedade de ser enumerável: a sequência pode repetir elementos, desde que cubra todos.

Passo 3

Tratar primeiro o caso trivial: B finito.
Se B for finito então A\cup B é a união de dois conjuntos finitos, logo finito. Todo conjunto finito é enumerável (basta escrever seus elementos em uma lista finita). Assim, neste caso A\cup B é enumerável. Fim deste caso.

Passo 4

Caso principal: B é infinito e enumerável.
Como B é enumerável, existe uma enumeração
B=\{b_1,b_2,b_3,\dots\},
isto é, uma sequência (b_k)_{k\ge 1} que atinge todos os elementos de B.
Como A é finito, escrevemos
A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}
para algum n\in\mathbb{N} (o caso n=0 corresponde a A=\varnothing).

Passo 5

Construção explícita da enumeração de [A\cup B).
Defina uma sequência g:\mathbb{N}\to A\cup B por
g(k)= \begin{cases} a_k, & \text{se }1\le k\le n,\\[4pt] b_{k-n}, & \text{se }k>n. \end{cases}
Ou seja, os primeiros n\] termos da sequência são \(a_1,\dots,a_n (lista de A) e, a partir do termo n+1, aparecem b_1,b_2,b_3,\dots (a enumeração de B).]

Passo 6

Verificação de que g enumera A\cup B.
  • Todo elemento de A aparece entre g(1),\dots,g(n) por construção, logo A\subset g(\mathbb{N}).
  • Todo elemento de B aparece em algum b_j e, como b_j=g(n+j), também aparece em g(\mathbb{N}). Logo B\subset g(\mathbb{N}).
  • Portanto A\cup B\subset g(\mathbb{N}). Como g(\mathbb{N})\subset A\cup B por definição do codomínio de g, segue g(\mathbb{N})=A\cup B.
Observação: se algum a_i coincidir com algum b_j haverá repetições na sequência g; isso não é problema, pois a enumeração só exige que todo elemento apareça pelo menos uma vez.

Passo 7

Conclusão final e comentário prático.
A sequência g dada é uma enumeração de A\cup B. Logo A\cup B é enumerável. Em linguagem prática: anexar uma lista finita (os elementos de A) no começo de uma enumeração de B dá uma enumeração de A\cup B.

Resposta

A\cup B é enumerável.

Exercícios relacionados