Mostre por indução matemática:
)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo
vale a propriedade
Vamos usar o princípio da indução: primeiro verificamos o caso base
, depois assumimos a hipótese de indução para
e mostramos que a propriedade vale também para
.
Passo 2
Caso base (
):
Calculamos
Calculamos
e como
é claramente divisível por
, temos
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que para algum já valha
Suponha que para algum
isto é, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo de indução (
):
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Observe que
Escrevendo
pelos números inteiros. Pela hipótese de indução,
, logo
mostrando que
também é múltiplo de
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, concluímos que para todo
vale