Mostre por indução matemática:
\quad 24 \mid\left(5^{2 n}-1\right), \forall n \in \mathbb{N})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo n\in\mathbb{N} vale a propriedade
24 \mid \bigl(5^{2n}-1\bigr).
Vamos usar o princípio da indução: primeiro verificamos o caso base n=1, depois assumimos a hipótese de indução para n=k e mostramos que a propriedade vale também para n=k+1.

Passo 2

Caso base ( n=1):
Calculamos
5^{2\cdot1}-1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24,
e como 24 é claramente divisível por 24, temos
24 \mid \bigl(5^{2\cdot1}-1\bigr).

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que para algum k\in\mathbb{N} já valha
24 \mid \bigl(5^{2k}-1\bigr),
isto é, existe um inteiro m tal que
5^{2k}-1 = 24\,m.

Passo 4

Passo de indução ( n=k+1):
Queremos mostrar que
24 \mid \bigl(5^{2(k+1)}-1\bigr).
Observe que
5^{2(k+1)} - 1 = 5^{2k+2} - 1 = 25\cdot 5^{2k} - 1.
Escrevendo
25\cdot 5^{2k} - 1 = 25\bigl(5^{2k}-1\bigr) + 25 - 1 = 25\bigl(5^{2k}-1\bigr) + 24,
pelos números inteiros. Pela hipótese de indução, 5^{2k}-1 = 24\,m, logo
25\bigl(5^{2k}-1\bigr) + 24 = 25\cdot(24\,m) + 24 = 24\,(25m + 1),
mostrando que 5^{2(k+1)} - 1 também é múltiplo de 24.

Resposta

Portanto, por indução matemática, concluímos que para todo n\in\mathbb{N} vale
24 \mid \bigl(5^{2n}-1\bigr).

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