Mostre por indução matemática:
\quad 9 \mid\left(10^{n}+3.4^{n+2}+5\right)), para todo n \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\ge0, que
9 \,\bigm|\,(10^n \;+\;3\cdot4^{n+2}\;+\;5).
O conteúdo é prova por indução e uso de congruências módulo 9.

Passo 2

Base n=0:
10^0 + 3\cdot4^2 + 5 = 1 + 3\cdot16 + 5 = 1 + 48 + 5 = 54,
e como 54 = 9\cdot6, temos 9\mid(10^0+3\cdot4^2+5).

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge0 valha
9\mid\bigl(10^k + 3\cdot4^{k+2} + 5\bigr),
ou seja,
10^k + 3\cdot4^{k+2} + 5 \equiv 0 \pmod9.

Passo 4

Caso n=k+1: analisemos
10^{k+1} + 3\cdot4^{k+3} + 5.
Como 10\equiv1\pmod9 e 4\equiv4\pmod9, segue
10^{k+1} = 10\cdot10^k \equiv 1\cdot10^k = 10^k \pmod9,
3\cdot4^{k+3} = 3\cdot4\cdot4^{k+2} = 12\cdot4^{k+2} \equiv 3\cdot4^{k+2} \pmod9.
Logo
10^{k+1} + 3\cdot4^{k+3} + 5 \equiv 10^k + 3\cdot4^{k+2} + 5 \equiv 0 \pmod9
pela hipótese de indução.

Passo 5

Pela base em n=0 e pelo passo indutivo, concluímos que
9 \mid \bigl(10^n + 3\cdot4^{n+2} + 5\bigr) \quad\text{para todo }n\ge0.

Resposta

Portanto, por indução matemática, 9 divide 10^n + 3\cdot4^{n+2} + 5 para todo n\ge0.

Exercícios relacionados