Mostre por Indução Matemática que a soma dos
primeiros quadrados
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de Indução Matemática que pede para mostrar que a soma dos primeiros
quadrados é igual a
. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender e aplicar o princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso mais simples, que é quando
. Isso é chamado de base da indução.
Calculando a soma dos quadrados até 1:
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá para
:
Como os dois resultados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos para o passo de indução. A ideia é assumir que a fórmula funciona para um número
, ou seja, que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e será a base para provar que a fórmula também vale para
.
Passo 4
Vamos mostrar que, se a fórmula é válida para
, então ela também é válida para
.
Primeiro, escrevemos a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo na soma:
Vamos simplificar essa expressão:
- Fatoramos
:
- Colocamos tudo em um denominador comum:
- Expandimos os termos no numerador:
- Fatoramos o polinômio
:
- Substituímos de volta:
Observe que isso é exatamente a fórmula para
:
Portanto, se a fórmula vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Assim, por Indução Matemática, mostramos que a soma dos
primeiros quadrados é: