Mostre por Indução Matemática que a soma dos n primeiros quadrados
sumk=1^n k^2=n(n+1)(2 n+1)6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de Indução Matemática que pede para mostrar que a soma dos primeiros sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6 quadrados é igual a . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender e aplicar o princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso mais simples, que é quando sumk=1^1 k^2 = 1^2 = 1 . Isso é chamado de base da indução.
Calculando a soma dos quadrados até 1:
1(1+1)(2 cdot 1 + 1)6 = 1 cdot 2 cdot 36 = 66 = 1
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá para :
Como os dois resultados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos para o passo de indução. A ideia é assumir que a fórmula funciona para um número sumk=1^k k^2 = k(k+1)(2k+1)6 , ou seja, que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e será a base para provar que a fórmula também vale para .

Passo 4

Vamos mostrar que, se a fórmula é válida para sumk=1^k+1 k^2 = sumk=1^k k^2 + (k+1)^2 , então ela também é válida para sumk=1^k k^2 = k(k+1)(2k+1)6 .
Primeiro, escrevemos a soma até sumk=1^k+1 k^2 = k(k+1)(2k+1)6 + (k+1)^2 :
= (k+1) ( k(2k+1)6 + (k+1) )
Pela hipótese de indução, sabemos que:
= (k+1) ( k(2k+1) + 6(k+1)6 )
Então, substituindo na soma:
= (k+1) ( 2k^2 + k + 6k + 66 )
Vamos simplificar essa expressão:
  1. Fatoramos = (k+1) ( 2k^2 + 7k + 66 ) :
2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)
  1. Colocamos tudo em um denominador comum:
= (k+1) ( (2k + 3)(k + 2)6 )
  1. Expandimos os termos no numerador:
= (k+1)(k+2)(2k+3)6
(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)6 = (k+1)(k+2)(2k+3)6
  1. Fatoramos o polinômio :
  1. Substituímos de volta:
Observe que isso é exatamente a fórmula para :
Portanto, se a fórmula vale para , ela também vale para .

Resposta

Assim, por Indução Matemática, mostramos que a soma dos sumk=1^n k^2 = n(n+1)(2n+1)6 primeiros quadrados é:

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