Encontre uma função não-constante y=f(x) duas vezes derivável satisfazendo
x y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é x y'' + y' = 0. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar técnicas de resolução de equações de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função y = f(x) que não seja constante e que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de y de z, ou seja, z = y'. Assim, a segunda derivada y'' vira z'. Substituindo na equação original, temos:
x z' + z = 0
Agora, nossa equação está em termos de z, que é uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 3

A equação x z' + z = 0 pode ser reescrita como:
z' = -zx
Essa é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis z e x para facilitar a integração:
dzz = -dxx

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral dzz = integral -dxx
A integral de 1z em relação a z é ln |z| e a de -1x em relação a x é -ln |x|. Então:
ln |z| = -ln |x| + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
z = Cx
Lembrando que z = y', então:
y' = Cx

Passo 5

Agora, para encontrar y, vamos integrar y':
y = integral Cx , dx = C ln |x| + D
Onde D é outra constante de integração. Como queremos uma função não-constante, podemos assumir D = 0. Então, a solução final é:
y = C ln x

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é y = C ln x, onde C é uma constante real.

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