Encontre uma função não-constante
duas vezes derivável satisfazendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias e vamos precisar usar técnicas de resolução de equações de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função
que não seja constante e que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar a primeira derivada de
de
, ou seja,
. Assim, a segunda derivada
vira
. Substituindo na equação original, temos:
Agora, nossa equação está em termos de
, que é uma equação diferencial de primeira ordem.
Passo 3
A equação
pode ser reescrita como:
Essa é uma equação diferencial separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
e a de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso exponenciando ambos os lados:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos integrar
:
Onde
é outra constante de integração. Como queremos uma função não-constante, podemos assumir
. Então, a solução final é:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada é
, onde
é uma constante real.