Mostre, por indução, que para todo n \in \mathbb{N},
169 \mid 3^{3 n+3}-26 n-27

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}, que
169 \mid 3^{3n+3} - 26\,n - 27.
O conteúdo é prova por indução envolvendo propriedades de divisibilidade e manipulações algébricas.

Passo 2

Base de indução n=1:
3^{3\cdot1+3} - 26\cdot1 - 27 = 3^6 - 26 - 27 = 729 - 53 = 676 = 4\cdot169,
logo 169\mid 676, ou seja, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1 já seja válido
169 \mid 3^{3k+3} - 26\,k - 27.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1: consideremos
3^{3(k+1)+3} - 26\,(k+1) - 27 =3^{3k+6} - 26k - 26 - 27 =27\cdot3^{3k+3} - 26k - 53.
Escrevendo
27\cdot3^{3k+3} - 26k - 53 =27\bigl(3^{3k+3} - 26k - 27\bigr) +\bigl(27\cdot(26k+27) - 26k - 53\bigr)
e calculando o segundo termo:
27\cdot(26k+27) - 26k - 53 =702k + 729 - 26k - 53 =676k + 676 =676\,(k+1) =4\cdot169\,(k+1).
Pelo passo indutivo, 169\mid 3^{3k+3}-26k-27, então também 169\mid 27(\dots). Como além disso 169\mid 4\cdot169\,(k+1), concluímos
169 \mid \bigl[27(\dots)\bigr] + 4\cdot169\,(k+1) \;\Longrightarrow\; 169 \mid 3^{3(k+1)+3} - 26\,(k+1) - 27.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, vale
169 \mid 3^{3n+3} - 26\,n - 27.

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