Mostre que
, para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para todo
.
O conteúdo aqui é divisibilidade e argumentos com inteiros consecutivos e casos módulo. Vamos mostrar separadamente que e
dividem esse produto, e então concluir que
também o faz, pois
e
são primos distintos.
O conteúdo aqui é divisibilidade e argumentos com inteiros consecutivos e casos módulo. Vamos mostrar separadamente que
Passo 2
Primeiro, mostramos que
divide
.
Entre e
um é par, ou seja, sempre existe um fator
nesse produto. Logo
Entre
Passo 3
Agora, mostramos que
divide
.
Consideramos as possíveis classes de módulo
:
Consideramos as possíveis classes de
- Se
, então e, portanto, . - Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Em todos os casos encontramos um múltiplo de
no produto, de modo que
Passo 4
Como
e
são primos distintos, da propriedade
concluímos a prova.
Resposta
Foi demonstrado que para todo
vale