Mostre que 6 \mid n(n+1)(2 n+1), para todo n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar que
6 \mid n(n+1)(2n+1)
para todo n \in \mathbb{N}.
O conteúdo aqui é divisibilidade e argumentos com inteiros consecutivos e casos módulo. Vamos mostrar separadamente que 2 e 3 dividem esse produto, e então concluir que 6=2\cdot3 também o faz, pois 2 e 3 são primos distintos.

Passo 2

Primeiro, mostramos que 2 divide n(n+1)(2n+1).
Entre n e n+1 um é par, ou seja, sempre existe um fator 2 nesse produto. Logo
2 \mid n(n+1)(2n+1).

Passo 3

Agora, mostramos que 3 divide n(n+1)(2n+1).
Consideramos as possíveis classes de n módulo 3:
  1. Se n\equiv0\pmod{3}, então 3\mid n e, portanto, 3\mid n(n+1)(2n+1).
  2. Se n\equiv1\pmod{3}, então 2n+1\equiv2\!\cdot1+1\equiv3\equiv0\pmod{3}, logo 3\mid(2n+1).
  3. Se n\equiv2\pmod{3}, então n+1\equiv2+1\equiv3\equiv0\pmod{3}, logo 3\mid(n+1).
Em todos os casos encontramos um múltiplo de 3 no produto, de modo que
3 \mid n(n+1)(2n+1).

Passo 4

Como 2 e 3 são primos distintos, da propriedade
2\mid n(n+1)(2n+1) \quad\text{e}\quad 3\mid n(n+1)(2n+1) \;\Longrightarrow\; 6=2\cdot3\mid n(n+1)(2n+1),
concluímos a prova.

Resposta

Foi demonstrado que para todo n\in\mathbb{N} vale
6 \mid n(n+1)(2n+1).

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