Mostre, por indução, que para todo n \in \mathbb{N},
9 \mid 10^{n}+3 \cdot 4^{n+2}+5

Passo 1

Vamos provar por indução em n que
10^{n} \;+\; 3\cdot 4^{n+2} \;+\; 5
é múltiplo de 9.

Passo 2

Base da indução n=0:
10^{0} + 3\cdot4^{0+2} +5 = 1 + 3\cdot16 +5 = 1 +48 +5 = 54,
e de fato 54 é múltiplo de 9.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge0, valha
10^{k} + 3\cdot 4^{k+2} +5 = 9m
para algum inteiro m.

Passo 4

Queremos mostrar que
10^{k+1} + 3\cdot4^{k+3} +5
também é múltiplo de 9. Observe que
3\cdot4^{k+3} = 3\cdot4\cdot4^{k+2} = 12\cdot4^{k+2} \quad\text{e}\quad 3\cdot4^{k+2} = 48\cdot4^{k}.
Então a hipótese indutiva pode ser reescrita como
10^{k} + 48\cdot4^{k} +5 = 9m.

Passo 5

Agora calcule
10^{k+1} + 3\cdot4^{k+3} +5 = 10\cdot10^{k} + 12\cdot4^{k+2} +5 = 10\cdot10^{k} + 192\cdot4^{k} +5.
Multiplicando a hipótese indutiva por 10 temos
10\bigl(10^{k} + 48\cdot4^{k} +5\bigr) = 90m \;\Longrightarrow\; 10\cdot10^{k} + 480\cdot4^{k} +50 = 90m.
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10\cdot10^{k} + 192\cdot4^{k} +5 = \bigl(10\cdot10^{k} + 480\cdot4^{k} +50\bigr) -288\cdot4^{k} -45 = 90m - 9\bigl(32\cdot4^{k}+5\bigr) = 9\bigl(10m - 32\cdot4^{k} -5\bigr),
que é múltiplo de 9.

Resposta

Pela indução, para todo n\in\mathbb{N} temos
9 \mid \bigl(10^{n} + 3\cdot4^{n+2} +5\bigr).

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