Mostre, por indução, que para todo
,
Passo 1
Vamos provar por indução em
que
é múltiplo de
.
Passo 2
Base da indução
:
e de fato
é múltiplo de
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, valha
para algum inteiro
.
Passo 4
Queremos mostrar que
também é múltiplo de
. Observe que
Então a hipótese indutiva pode ser reescrita como
Passo 5
Agora calcule
Multiplicando a hipótese indutiva por
temos
Logo
que é múltiplo de
.
Resposta
Pela indução, para todo
temos