Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que, para todo
,
O conteúdo aqui é o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar um caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base (
): à esquerda temos
e à direita
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que a fórmula seja válida para algum
, ou seja,
Passo 4
Passo indutivo: mostramos que então vale para
. A soma até
é
Pela hipótese de indução isso é
Colocando em denominar comum:
No colchete,
Portanto
que é justamente a fórmula para
.
Passo 5
Como o caso base vale e o passo indutivo está estabelecido, pelo Princípio da Indução Matemática a fórmula é verdadeira para todo
.
Resposta
Pelo princípio da indução, foi demonstrado que
para todo
.