Mostre por indução a validade das seguintes fórmulas:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo n\in\mathbb{N},
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.
O conteúdo aqui é o Princípio da Indução Matemática, que exige verificar um caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1): à esquerda temos
1^{2} = 1,
e à direita
\frac{1\,(2\cdot1-1)\,(2\cdot1+1)}{3} = \frac{1\cdot1\cdot3}{3} = 1.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que a fórmula seja válida para algum n=k, ou seja,
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2k-1)^{2} = \frac{k\,(2k-1)\,(2k+1)}{3}.

Passo 4

Passo indutivo: mostramos que então vale para n=k+1. A soma até k+1 é
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2k-1)^{2} + (2(k+1)-1)^{2}.
Pela hipótese de indução isso é
\frac{k\,(2k-1)\,(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2}.
Colocando em denominar comum:
\frac{k\,(2k-1)\,(2k+1) + 3\,(2k+1)^{2}}{3} = \frac{(2k+1)\bigl[k(2k-1)+3(2k+1)\bigr]}{3}.
No colchete,
k(2k-1)+3(2k+1) =2k^{2}-k +6k+3 =2k^{2}+5k+3 =(k+1)(2k+3).
Portanto
1^{2}+\cdots+(2(k+1)-1)^{2} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3} = \frac{(k+1)\bigl[2(k+1)-1\bigr]\bigl[2(k+1)+1\bigr]}{3},
que é justamente a fórmula para n=k+1.

Passo 5

Como o caso base vale e o passo indutivo está estabelecido, pelo Princípio da Indução Matemática a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Pelo princípio da indução, foi demonstrado que
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2n-1)^{2} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
para todo n\in\mathbb{N}.

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