Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
(n+1)(n+2) \cdots(n+n)=2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1).

Passo 1

Vamos provar por indução em n a afirmação
P(n):\quad (n+1)(n+2)\cdots(n+n)=2^{n}\,\bigl(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\bigr).
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que consiste em verificar um caso base e depois mostrar que P(n)\implies P(n+1).

Passo 2

Cas0 base n=1:
(n+1) = (1+1)=2,
e do outro lado
2^{1}\cdot1=2.
Logo P(1) é verdadeira.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que P(n) seja válida para algum n\ge1, ou seja,
(n+1)(n+2)\cdots(2n) =2^{n}\,\bigl(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\bigr).
Queremos mostrar P(n+1):
(n+2)(n+3)\cdots(2n+2).
Observe que
(n+2)(n+3)\cdots(2n+2) =\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{(n+1)}\;\times\;(2n+1)(2n+2).

Passo 4

Usando a hipótese indutiva para substituir (n+1)(n+2)\cdots(2n), obtemos
(n+2)\cdots(2n+2) =\frac{2^{n}\,(1\cdot3\cdots(2n-1))}{(n+1)}\;\times\;(2n+1)(2n+2).
Como \tfrac{2n+2}{n+1}=2, isso vira
2^{n}\,(1\cdot3\cdots(2n-1))\,(2n+1)\;\times\;2 =2^{n+1}\,\bigl(1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)\bigr),
que é exatamente o lado direito de P(n+1). Logo P(n)\implies P(n+1).

Passo 5

Concluímos, por indução, que para todo n\in\mathbb{N} vale
(n+1)(n+2)\cdots(n+n) =2^{n}\,\bigl(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\bigr).

Resposta

A igualdade foi provada para todo n\in\mathbb{N}.

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