Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução que
O conteúdo é prova por indução, que envolve verificar a base
e depois mostrar que, se a fórmula vale para
, então vale para
.
Passo 2
Base da indução (
):
o lado esquerdo fica
o lado esquerdo fica
e o lado direito é
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo (
): adicionamos
aos dois lados da hipótese:
No lado direito, agrupamos termos com
:
Mas
, ou seja, chegamos a
que é exatamente a forma desejada para
. Assim, a fórmula vale também para
.
Resposta
Por indução, conclui-se que, para todo
,