Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
1.2^{0}+2.2^{1}+3.2^{2}+\cdots+n .2^{n-1}=1+(n-1) 2^{n};

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que
1\cdot2^{0} + 2\cdot2^{1} + 3\cdot2^{2} + \cdots + n\cdot2^{n-1} = 1 + (n-1)\,2^{n}.
O conteúdo é prova por indução, que envolve verificar a base n=1 e depois mostrar que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
o lado esquerdo fica
1\cdot2^{0} = 1,
e o lado direito é
1 + (1-1)\,2^{1} = 1 + 0 = 1.
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 valha
1\cdot2^{0} + 2\cdot2^{1} + \cdots + n\cdot2^{n-1} = 1 + (n-1)\,2^{n}.

Passo 4

Passo indutivo ( n\to n+1): adicionamos (n+1)\cdot2^{n} aos dois lados da hipótese:
1\cdot2^{0} + \cdots + n\cdot2^{n-1} + (n+1)\cdot2^{n} = \bigl[1 + (n-1)\,2^{n}\bigr] + (n+1)\,2^{n}.
No lado direito, agrupamos termos com 2^{n}:
1 + \bigl[(n-1) + (n+1)\bigr]2^{n} = 1 + \bigl(2n\bigr)\,2^{n} = 1 + n\,2^{n+1}.
Mas n\,2^{n+1} = ( (n+1) -1 )2^{n+1}, ou seja, chegamos a
1 + \bigl((n+1)-1\bigr)\,2^{n+1},
que é exatamente a forma desejada para n+1. Assim, a fórmula vale também para n+1.

Resposta

Por indução, conclui-se que, para todo n\ge1,
1\cdot2^{0} + 2\cdot2^{1} + 3\cdot2^{2} + \cdots + n\cdot2^{n-1} = 1 + (n-1)\,2^{n}.

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