Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
,
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que para todo inteiro
vale
O método de prova por indução exige dois passos: verificar a base de indução e depois o passo indutivo.
Passo 2
(Base de indução) Para
o produto à esquerda tem um único fator:
Já o lado direito é
Como os dois lados coincidem, a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
já seja verdade que
Passo 4
(Passo indutivo) Devemos mostrar que a fórmula vale para
. O produto até
é
Pela hipótese de indução isso é
Mas
é exatamente o lado direito da fórmula quando substituímos
por
:
Passo 5
Como a base foi verificada e o passo indutivo realizado, concluímos por indução que
para todo inteiro
.
Resposta
A fórmula está provada por indução.