Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2} \cdots\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^{n-1}}{(n-1)!},

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que para todo inteiro n\ge2 vale
\bigl(1+\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}\bigl(1+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\cdots\bigl(1+\tfrac{1}{n-1}\bigr)^{\,n-1} =\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}.
O método de prova por indução exige dois passos: verificar a base de indução e depois o passo indutivo.

Passo 2

(Base de indução) Para n=2 o produto à esquerda tem um único fator:
\bigl(1+\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}=2.
Já o lado direito é
\frac{2^{2-1}}{(2-1)!}=\frac{2^{1}}{1!}=\frac{2}{1}=2.
Como os dois lados coincidem, a fórmula vale para n=2.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum n\ge2 já seja verdade que
\bigl(1+\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}\bigl(1+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\cdots\bigl(1+\tfrac{1}{n-1}\bigr)^{\,n-1} =\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}.

Passo 4

(Passo indutivo) Devemos mostrar que a fórmula vale para n+1. O produto até n é
\bigl(1+\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}\cdots\bigl(1+\tfrac{1}{n-1}\bigr)^{\,n-1}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}.
Pela hipótese de indução isso é
\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}\,\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)^{n} =\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}\,\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} =\frac{(n+1)^{n}}{n\,(n-1)!} =\frac{(n+1)^{n}}{n!}.
Mas \frac{(n+1)^{n}}{n!} é exatamente o lado direito da fórmula quando substituímos n por n+1:
\frac{(n+1)^{(n+1)-1}}{\bigl((n+1)-1\bigr)!} =\frac{(n+1)^{n}}{n!}.

Passo 5

Como a base foi verificada e o passo indutivo realizado, concluímos por indução que
\bigl(1+\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}\bigl(1+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\cdots\bigl(1+\tfrac{1}{n-1}\bigr)^{\,n-1} =\frac{n^{\,n-1}}{(n-1)!}
para todo inteiro n\ge2.

Resposta

A fórmula está provada por indução.

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