Prove que:
d)
e
. )
d) e
Passo 1
Vamos provar, por indução em
, que para todo
com
vale
A ideia é checar o caso base
e depois mostrar que, se vale para
, então vale para
.
Passo 2
(Caso base
). Substituindo
obtemos
Como
, o caso base está verificado.
Passo 3
(Passo indutivo). Suponha que para algum
valha
Queremos mostrar
Começamos multiplicando a hipótese indutiva por
:
Agora note que
Denotando
, a desigualdade obtida fica
Queremos ver que o lado direito é ao menos
Isto é, basta mostrar
Reescrevendo o fator,
e como
e
, para
temos
logo
Assim
Mas
, então
Portanto
e isso garante
ou seja
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Por indução, concluímos que para todo
com
vale