Prove que:
b)
😉
b) 😉
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale
O conteúdo principal aqui é o princípio de indução matemática, além de manipulações algébricas para comparar produtos e raízes.
Passo 2
Base de indução
.
Para a fração é
Para
e o lado direito é
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algum já tenhamos
Suponha que para algum
Então, para
a expressão cresce multiplicando pelo novo fator
:
Passo 4
Verificando o passo
.
Pela hipótese de indução basta mostrar
Pela hipótese de indução basta mostrar
Isso é equivalente a
Elevando ao quadrado (tudo positivo), queremos
Cancelando o fator
(estritamente positivo), resta
Expandindo, o lado esquerdo é
e o direito é
e de fato
Logo a desigualdade se mantém para
.
Resposta
Pela indução, a desigualdade
vale para todo
.