Prove que:
b) \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2 n} \leq \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}\\, para qualquer \(n \in \mathbb{N}😉

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, vale
\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)} \;\le\;\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.
O conteúdo principal aqui é o princípio de indução matemática, além de manipulações algébricas para comparar produtos e raízes.

Passo 2

Base de indução n=1.
Para n=1 a fração é
\frac{1}{2}
e o lado direito é
\frac{1}{\sqrt{2\cdot1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Como \tfrac12<\tfrac1{\sqrt3}, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum n\ge1 já tenhamos
\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\;\le\;\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.
Então, para n+1 a expressão cresce multiplicando pelo novo fator \frac{2n+1}{2n+2}:
\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}{2\cdot4\cdots(2n)\cdot(2n+2)} =\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\;\times\;\frac{2n+1}{2n+2}.

Passo 4

Verificando o passo n\to n+1.
Pela hipótese de indução basta mostrar
\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\;\times\;\frac{2n+1}{2n+2} \;\le\;\frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}} =\frac{1}{\sqrt{2n+3}}.
Isso é equivalente a
\frac{2n+1}{2n+2}\le\sqrt{\frac{2n+1}{2n+3}}.
Elevando ao quadrado (tudo positivo), queremos
\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\;\le\;\frac{2n+1}{2n+3}.
Cancelando o fator 2n+1 (estritamente positivo), resta
\frac{2n+1}{(2n+2)^2}\;\le\;\frac{1}{2n+3} \quad\Longleftrightarrow\quad (2n+1)(2n+3)\;\le\;(2n+2)^2.
Expandindo, o lado esquerdo é
4n^2+8n+3
e o direito é
4n^2+8n+4,
e de fato
4n^2+8n+3\;\le\;4n^2+8n+4.
Logo a desigualdade se mantém para n+1.

Resposta

Pela indução, a desigualdade
\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\le\frac{1}{\sqrt{2n+1}}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

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