Mostre que a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de raio R em torno de um eixo
é dado por
. (Dicas:
com
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar que a inércia rotacional (momento de inércia) de uma esfera sólida e uniforme de raio
em torno do eixo
é
Isso faz parte da matéria de mecânica clássica (momento de inércia) e a gente vai precisar de cálculo em coordenadas esféricas. Em resumo, vamos:
- escrever a definição
, - usar coordenadas esféricas
, - montar
com , - integrar tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, a definição de momento de inércia em torno do eixo
é
Em coordenadas esféricas usamos
então
Passo 3
O elemento de massa
vem da densidade volumétrica uniforme
e do volume esférico:
Assim o integral fica
Passo 4
Agora a gente separa em três integrais:
- sobre
: . - sobre
: . - sobre
: .
Juntando tudo:
Passo 5
Só falta pôr
: