Mostre que a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de raio R em torno de um eixo z é dado por I=25 M R^2. (Dicas: d m= rho r^2 sin theta d r d phi d theta) com rho=M43 pi R^3 ; r^2=x^2+y^2+z^2 com z=0, x=r sin phi cos theta e y=r sin phi sin theta.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que a inércia rotacional (momento de inércia) de uma esfera sólida e uniforme de raio I = 25 , M R^2 em torno do eixo é
Isso faz parte da matéria de mecânica clássica (momento de inércia) e a gente vai precisar de cálculo em coordenadas esféricas. Em resumo, vamos:
  1. escrever a definição ,
  2. usar coordenadas esféricas ,
  3. montar com ,
  4. integrar tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, a definição de momento de inércia em torno do eixo Iz = integral (x^2 + y^2),dm é
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta
Em coordenadas esféricas usamos
x^2 + y^2 = r^2 sin^2phi
então

Passo 3

O elemento de massa dm = rho,dV = rho,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta, rho = Mtfrac43pi R^3 vem da densidade volumétrica uniforme Iz = integral0^R!!integral0^pi!!integral0^2pi l(r^2sin^2phir), l(rho,r^2sinphi,dtheta,dphi,drr) e do volume esférico:
Assim o integral fica

Passo 4

Agora a gente separa em três integrais:
  1. sobre Iz = rho ,l(2pir),l(tfrac43r),l(tfracR^55r) = rho,8pi R^515 : .
  2. sobre : .
  3. sobre : .
    Juntando tudo:

Passo 5

Só falta pôr Iz = 3M4pi R^3;8pi R^515 = 3cdot 84cdot 15,M R^2 = 2460,M R^2 = 25,M R^2 :

Resposta

boxedI = 25,M R^2

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