1. (Q24-ITA/2007) Considere a equação:
    \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}}+2 \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}=\mathrm{x}.
    Para que valores do parâmetro real \mathbf{p} a equação admite raízes reais?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
  • A equação dada é \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}}+2 \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}=\mathrm{x}.
  • O parâmetro \mathrm{p} é real.
  • Pergunta: para que valores de \mathrm{p} a equação admite raízes reais (ou seja, existe x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação)?
  • Informações extras que o enunciado fornece implicitamente (condições de existência dos radicais):
    • Da raiz \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}} segue \mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}\ge 0, isto é \mathrm{p}\le \mathrm{x}^{2}.
    • Da raiz \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1} segue \mathrm{x}^{2}-1\ge 0, portanto |\mathrm{x}|\ge 1.

Passo 2

Análise do sinal e domínio: restrições imediatas sobre x.
  • O membro esquerdo \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}}+2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1} é soma de termos não negativos, logo é \ge 0. Portanto o lado direito \mathrm{x} deve satisfazer \mathrm{x}\ge 0.
  • Juntando com |\mathrm{x}|\ge 1 obtemos \mathrm{x}\ge 1. Assim qualquer solução real deve satisfazer \mathrm{x}\ge 1\quad\text{e}\quad \mathrm{p}\le \mathrm{x}^{2}.

Passo 3

Isolamento de uma raiz e condição adicional antes de elevar ao quadrado.
  • Isolando \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}} da equação: \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}}=\mathrm{x}-2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}.
  • Como o lado esquerdo é \ge 0, o lado direito também deve ser \ge 0. Então \mathrm{x}-2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}\ge 0.
  • Dessa desigualdade, elevando ao quadrado (observando que ambos os lados são não negativos), temos: \mathrm{x}^{2}\ge 4(\mathrm{x}^{2}-1).Desenvolvendo, \mathrm{x}^{2}\ge 4\mathrm{x}^{2}-4 \quad\Rightarrow\quad 0\ge 3\mathrm{x}^{2}-4 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{x}^{2}\le \frac{4}{3}.
  • Combinando com \mathrm{x}\ge 1 obtemos o intervalo permitido para x: 1\le \mathrm{x}\le \frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Elevar ao quadrado para obter \mathrm{p} em função de \mathrm{x}.
  • Partindo de \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}}=\mathrm{x}-2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}, elevamos ao quadrado: \mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}=(\mathrm{x}-2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1})^{2}.
  • Calculando o quadrado do lado direito (denotando s=\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}): (\mathrm{x}-2s)^{2}=\mathrm{x}^{2}-4\mathrm{x}s+4s^{2}=\mathrm{x}^{2}-4\mathrm{x}s+4(\mathrm{x}^{2}-1)=5\mathrm{x}^{2}-4-4\mathrm{x}s.
  • Então \mathrm{x}^{2}-\mathrm{p}=5\mathrm{x}^{2}-4-4\mathrm{x}s.
  • Isolando \mathrm{p}: \mathrm{p}= \mathrm{x}^{2}-(5\mathrm{x}^{2}-4-4\mathrm{x}s)= -4\mathrm{x}^{2}+4+4\mathrm{x}s.
  • Factorizando 4: \mathrm{p}=4\bigl(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}+1-\mathrm{x}^{2}\bigr).
  • Definimos então a função \mathrm{p}=f(\mathrm{x})\quad\text{com}\quad f(\mathrm{x})=4\bigl(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}+1-\mathrm{x}^{2}\bigr),válida para 1\le \mathrm{x}\le \dfrac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Estudo da imagem f([1,2/\sqrt{3}]): extremos em pontos extremos do intervalo.
  • A função f é contínua no intervalo fechado [1,2/\sqrt{3}] (composição e soma/produto de funções contínuas).
  • Pelo teorema do valor extremo, f atinge mínimo e máximo nesse intervalo; portanto a imagem é um intervalo fechado entre algum valor mínimo e máximo.
  • Calculamos f nos extremos:
    • Em \mathrm{x}=1: \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}=0, então f(1)=4\bigl(1\cdot 0 +1-1\bigr)=0.
    • Em \mathrm{x}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}: calcular s=\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}=\sqrt{\dfrac{4}{3}-1}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim \mathrm{x}s=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}.Portanto f\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=4\Bigl(\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}\Bigr)=4\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)=\frac{4}{3}.

Passo 6

Mostrar que f é monotônica crescente no intervalo, garantindo que a imagem seja exatamente [0,4/3].
  • Calculamos a derivada de g(\mathrm{x})=\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}+1-\mathrm{x}^{2} (note que f(\mathrm{x})=4g(\mathrm{x})). Para \mathrm{x}>1 deixe s=\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}>0. Então g'(\mathrm{x})= \frac{d}{d\mathrm{x}}(\mathrm{x}s)-2\mathrm{x}= s + \mathrm{x}\frac{\mathrm{x}}{s}-2\mathrm{x}= s + \frac{\mathrm{x}^{2}}{s}-2\mathrm{x}.
  • Colocando em denominador comum: g'(\mathrm{x})=\frac{s^{2}+\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}s}{s}=\frac{2\mathrm{x}^{2}-1-2\mathrm{x}s}{s}.
  • Queremos mostrar que o numerador N(\mathrm{x})=2\mathrm{x}^{2}-1-2\mathrm{x}s é \ge 0 para \mathrm{x}\ge 1. Observação útil: para \mathrm{x}\ge 1 temos 2\mathrm{x}^{2}-1\ge 1>0 e 2\mathrm{x}s\ge 0, então podemos comparar quadrados: (2\mathrm{x}^{2}-1)^{2}-\bigl(2\mathrm{x}s\bigr)^{2}=4\mathrm{x}^{4}-4\mathrm{x}^{2}+1-4\mathrm{x}^{2}(\mathrm{x}^{2}-1)=1\ge 0.
  • Assim (2\mathrm{x}^{2}-1)^{2}\ge (2\mathrm{x}s)^{2}. Como ambos os lados são não negativos e 2\mathrm{x}^{2}-1>0, segue 2\mathrm{x}^{2}-1\ge 2\mathrm{x}s,ou seja N(\mathrm{x})\ge 0.
  • Portanto g'(\mathrm{x})\ge 0 para \mathrm{x}\in[1,2/\sqrt{3}], o que implica f'(\mathrm{x})=4g'(\mathrm{x})\ge 0. Logo f é crescente nesse intervalo.
  • Como f é contínua e crescente em [1,2/\sqrt{3}], sua imagem é o intervalo fechado entre f(1) e f(2/\sqrt{3}), isto é [0,\tfrac{4}{3}].

Passo 7

Verificação final das condições e conclusão.
  • Para cada \mathrm{p}\in[0,\tfrac{4}{3}] existe \mathrm{x}\in[1,\tfrac{2}{\sqrt{3}}] tal que \mathrm{p}=f(\mathrm{x}). Para essa \mathrm{x} valem todas as condições iniciais (radicandos não negativos e lado direito não negativo), e a construção através de elevação ao quadrado não introduz extranos (porque exigimos \mathrm{x}-2\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}\ge 0 antes de elevar), então a equação original é satisfeita.
  • Para \mathrm{p} fora de [0,\tfrac{4}{3}] não existe x\ge 1 que satisfaça a equação, então não há raízes reais.

Resposta

\displaystyle [0,\tfrac{4}{3}]

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