- (Q24-ITA/2007) Considere a equação:
.
Para que valores do parâmetro real
a equação admite raízes reais?
Para que valores do parâmetro real
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
- A equação dada é
. - O parâmetro
é real. - Pergunta: para que valores de
a equação admite raízes reais (ou seja, existe que satisfaça a equação)? - Informações extras que o enunciado fornece implicitamente (condições de existência dos radicais):
- Da raiz
segue , isto é . - Da raiz
segue , portanto .
- Da raiz
Passo 2
Análise do sinal e domínio: restrições imediatas sobre
.
- O membro esquerdo
é soma de termos não negativos, logo é . Portanto o lado direito deve satisfazer . - Juntando com
obtemos . Assim qualquer solução real deve satisfazer
Passo 3
Isolamento de uma raiz e condição adicional antes de elevar ao quadrado.
- Isolando
da equação: - Como o lado esquerdo é
, o lado direito também deve ser . Então - Dessa desigualdade, elevando ao quadrado (observando que ambos os lados são não negativos), temos:
Desenvolvendo, - Combinando com
obtemos o intervalo permitido para :
Passo 4
Elevar ao quadrado para obter
em função de
.
- Partindo de
, elevamos ao quadrado: - Calculando o quadrado do lado direito (denotando
): - Então
- Isolando
: - Factorizando
: - Definimos então a função
válida para .
Passo 5
Estudo da imagem
: extremos em pontos extremos do intervalo.
- A função
é contínua no intervalo fechado (composição e soma/produto de funções contínuas). - Pelo teorema do valor extremo,
atinge mínimo e máximo nesse intervalo; portanto a imagem é um intervalo fechado entre algum valor mínimo e máximo. - Calculamos
nos extremos: - Em
: , então - Em
: calcular . Assim Portanto
- Em
Passo 6
Mostrar que
é monotônica crescente no intervalo, garantindo que a imagem seja exatamente
.
- Calculamos a derivada de
(note que ). Para deixe . Então - Colocando em denominador comum:
- Queremos mostrar que o numerador
é para . Observação útil: para temos e , então podemos comparar quadrados: - Assim
. Como ambos os lados são não negativos e , segue ou seja . - Portanto
para , o que implica . Logo é crescente nesse intervalo. - Como
é contínua e crescente em , sua imagem é o intervalo fechado entre e , isto é .
Passo 7
Verificação final das condições e conclusão.
- Para cada
existe tal que . Para essa valem todas as condições iniciais (radicandos não negativos e lado direito não negativo), e a construção através de elevação ao quadrado não introduz extranos (porque exigimos antes de elevar), então a equação original é satisfeita. - Para
fora de não existe que satisfaça a equação, então não há raízes reais.