Seja
um campo vetorial. Mostre que a integral
sobre uma curva fechada no plano
é igual a área delimitada pela curva:
Dica: use o teorema de Stokes
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial no plano
e pede para mostrar que, para uma curva fechada qualquer no plano
,
onde
é a área da região limitada por essa curva. Informações relevantes:
- A curva é fechada e está contida no plano
. - A integral é a integral de linha de
ao longo da curva fechada. - O objetivo é relacionar essa integral de linha com a área
da região interna à curva.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes (a dica do enunciado). Primeiro, enunciado do teorema (no formato usado aqui):
onde:
-
é a curva fechada limite da superfície , -
é qualquer superfície orientada com borda , -
é o versor normal unitário de compatível com a orientação de (regra da mão direita), -
é um campo vetorial suficientemente suave definido em e em uma vizinhança.
No nosso caso escolhemoscomo a região plana limitada pela curva (superfície plana no plano ), e tomamos o versor normal unitário (para a orientação usual em que é percorrida no sentido anti-horário). Assim, pelo Teorema de Stokes podemos transformar a integral de linha numa integral de superfície do rotacional.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Escrevendo
, o rotacional em componente
é
Agora computo as derivadas parciais de forma explícita:
Portanto
Como
e as componentes
do rotacional são nulas (pode-se verificar da mesma forma), obtemos o rotacional completo
Passo 4
Aplicando Stokes com
, superfície
sendo a região plana limitada pela curva e
, tem-se:
Substituindo o rotacional encontrado:
Mas
é exatamente a área
da região
. Logo
Observe a questão da orientação: essa igualdade assume a orientação da curva
compatível com o versor normal
(isto é,
percorrida no sentido anti-horário visto de cima). Se a orientação fosse a oposta, o lado esquerdo teria sinal trocado e consequentemente o resultado mudaria de sinal; o enunciado presume a orientação positiva padrão.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
resulta exatamente na identidade desejada:
Como checagem alternativa (opcional): escrevendo a integral de linha como
e aplicando o Teorema de Green (caso plano do Teorema de Stokes),
o que confirma o resultado acima.