Mostre que \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r} independe do caminho de integração se, e somente se, \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}=0, para toda curva fechada \gamma de classe \mathcal{C}^{1} por partes em \Omega.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre duas afirmações sobre uma integral de linha de um campo vetorial \vec{F} em um domínio \Omega:
Afirmação A: A integral \displaystyle \int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} independe do caminho de integração nas curvas de classe \mathcal{C}^1 por partes em \Omega. Ou seja, se \gamma_1 e \gamma_2 são duas curvas em \Omega com o mesmo ponto inicial e final, então
Afirmação B: Para toda curva fechada \gamma de classe \mathcal{C}^1 por partes em \Omega (isto é, \gamma tem mesmos ponto inicial e final), vale
\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Dado: \vec{F} é um campo vetorial definido em \Omega e consideramos integrais de linha em curvas de classe \mathcal{C}^1 por partes contidas em \Omega.
Objetivo: mostrar que Afirmação A é verdadeira se, e somente se, Afirmação B é verdadeira.
Passo 2
Vamos recordar (e justificar rapidamente) três propriedades básicas das integrais de linha que usaremos — são fáceis e muito úteis, então vale entender bem:
Soma por concatenação de curvas. Se \alpha é uma curva de A até B e \beta é uma curva de B até C, então a curva concatenada \alpha*\beta (primeiro \alpha, depois \beta) satisfaz
Isto vem direto da definição da integral de linha por parametrização: a parametrização da curva concatenada é feita em dois trechos e a integral soma as integrais desses trechos.
Reversão de sentido. Se \gamma é uma curva parametrizada por t\in[a,b], a curva \overline{\gamma} obtida invertendo o sentido (por exemplo \overline{\gamma}(t)=\gamma(a+b-t)) satisfaz
Novamente, isso vem da definição: trocar a orientação troca o sinal da diferencial d\vec{r}.
Curva constante. Se \sigma é a curva constante que fica no ponto P (ou seja, \sigma(t)=P para todo t), então
\int_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0,
pois a derivada \sigma'(t)=0 e a integral do produto com zero é zero.
Essas três propriedades serão usadas explicitamente nas provas das duas direções.
Passo 3
Prova da implicação \text{A}\Rightarrow\text{B} (se a integral independe do caminho, então a integral sobre qualquer curva fechada é zero).
Se a integral independe do caminho, então o valor da integral entre dois pontos depende apenas dos pontos de extremidade. Tome uma curva fechada \gamma com \gamma(a)=\gamma(b)=P. Considere a curva constante \sigma no ponto P. Como ambas têm mesmos pontos inicial e final, pela independência do caminho
Pela propriedade da curva constante (Passo 2, item 3) temos \int_{\sigma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0. Logo
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.
Isso prova que A implica B.
Passo 4
Prova da implicação \text{B}\Rightarrow\text{A} (se toda integral sobre curva fechada é zero, então a integral independe do caminho).
Estratégia: fixar um ponto base p_0\in\Omega, definir uma função potencial candidata f por integração de p_0 até um ponto arbitrário p, mostrar que f está bem-definida (ou seja, independe da curva escolhida), e então deduzir que a integral entre dois pontos é f(\text{final})-f(\text{inicial}), provando independência do caminho.
Passo 4.1 — definição de f. Escolha um ponto fixo p_0\in\Omega. Para cada p\in\Omega tome alguma curva \sigma_p de classe \mathcal{C}^1 por partes que vá de p_0 a p (existe pelo fato de \Omega ser o domínio onde consideramos curvas). Defina
f(p):=\int_{\sigma_p}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Temos que verificar que f(p) não depende da escolha da curva \sigma_p.
Passo 5
Mostrando que f é bem-definida (não depende da curva escolhida entre p_0 e p).
Se \sigma_p e \tau_p são duas curvas de p_0 até o mesmo p, considere a curva fechada obtida concatenando \sigma_p seguida da reversa de \tau_p, isto é \sigma_p * \overline{\tau_p}. Pelo Passo 2, item 1,
Portanto f(p) é independente da escolha do caminho de p_0 a p — f está bem-definida.
Passo 6
Mostrando que a integral entre dois pontos é diferença de f (consequência: independência do caminho).
Seja \gamma uma curva qualquer de p até q (isto é, \gamma vai de p a q). Tome as curvas escolhidas anteriormente \sigma_p de p_0 a p e \sigma_q de p_0 a q. Considere a curva fechada \sigma_p * \gamma * \overline{\sigma_q}. Pela hipótese B, a integral sobre essa curva fechada é zero:
Pelo Passo 4.1, as integrais \int_{\sigma_q}\vec{F}\cdot d\vec{r} e \int_{\sigma_p}\vec{F}\cdot d\vec{r} são exatamente f(q) e f(p). Portanto
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(q)-f(p).
Como o lado direito depende só dos pontos finais p e q, concluímos que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido entre eles. Ou seja, B implica A.
Passo 7
Conclusão final: unindo os dois sentidos provados nos Passos 3 e 6, temos a equivalência desejada: \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} independe do caminho em \Omega se, e somente se, \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 para toda curva fechada \gamma de classe \mathcal{C}^1 por partes em \Omega.
Resposta
As duas condições são equivalentes: \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} independe do caminho em \Omega se, e somente se, \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0 para toda curva fechada \gamma de classe \mathcal{C}^1 por partes em \Omega.