Sejam P, Q, R funções de classe \mathcal{C}^{1} em um aberto \Omega \subset \mathbb{R}^{3}. Mostre que se a forma diferencial
P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z
é exata, então \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x} e \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y} em \Omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado que a forma diferencial
P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz
é exata em um aberto \Omega\subset\mathbb{R}^3, então as seguintes igualdades valem em \Omega:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Informações dadas:
  • P,Q,R são funções de classe \mathcal{C}^1 em \Omega (isto é, têm derivadas parciais contínuas).
  • A forma diferencial \omega:=P\,dx+Q\,dy+R\,dz é exata em \Omega (ou seja, existe uma função escalar cuja diferencial é \omega).

Passo 2

Entendendo a definição de “exata”: dizer que \omega é exata significa que existe uma função \varphi:\Omega\to\mathbb{R} tal que
d\varphi=\omega.
O significado prático disso em coordenadas é: as componentes de \omega são as derivadas parciais de \varphi. Ou seja,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.
Aqui estou usando a notação usual: \varphi_x é \partial\varphi/\partial x, etc.

Passo 3

Regularidade da potencial \varphi: como P,Q,R são de classe \mathcal{C}^1 e elas iguais às derivadas primeiras de \varphi, segue que as derivadas segundas de \varphi existem e são contínuas. Em termos práticos, \varphi é de classe \mathcal{C}^2 em \Omega. Isso é importante porque precisamos de continuidade das derivadas segundas para aplicar o teorema sobre derivadas parciais mistas.

Passo 4

Teorema das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut/Schwarz): se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança de um ponto, então as derivadas parciais mistas são iguais nesse ponto. Em notação,
\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\partial y},
e análogas para outros pares de variáveis. Como \varphi\in\mathcal{C}^2, podemos usar esse resultado em todo \Omega.

Passo 5

Agora relacionamos as derivadas de \varphi com P,Q,R e aplicamos o teorema das mistas. Primeiro par de igualdades:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) =\frac{\partial}{\partial y}(P) \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right) =\frac{\partial}{\partial x}(Q).
Isto é,
\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}, \qquad \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Pelo teorema das derivadas mistas,
\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y},
logo
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 6

Segundo par de igualdades (entre P e R): diferenciando \varphi_x=P em relação a z e \varphi_z=R em relação a x, obtemos
\frac{\partial^2\varphi}{\partial z\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}, \qquad \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}.
Pelo teorema das mistas, essas derivadas são iguais, então
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}.

Passo 7

Terceiro par de igualdades (entre Q e R): diferenciando \varphi_y=Q em relação a z e \varphi_z=R em relação a y, obtemos
\frac{\partial^2\varphi}{\partial z\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z}, \qquad \frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Pelo teorema das mistas,
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.

Passo 8

Resumo do raciocínio (versão alternativa rápida usando formas diferenciais): se \omega é exata então d\omega=d(d\varphi)=0. Calculando d\omega para \omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz chega-se aos coeficientes
d\omega=(Q_x-P_y)\,dx\wedge dy+(R_x-P_z)\,dx\wedge dz+(R_y-Q_z)\,dy\wedge dz.
Como d\omega=0, todos os coeficientes são zero, o que fornece as três igualdades pedidas. (Use isso só como visão alternativa; a demonstração detalhada acima explicita por que as segundas derivadas existem e são iguais.)

Resposta

\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\n \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}\n \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}

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