Sejam
funções de classe
em um aberto
. Mostre que se a forma diferencial
é exata, então
e
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado que a forma diferencial
é exata em um aberto
, então as seguintes igualdades valem em
:
Informações dadas:
-
são funções de classe em (isto é, têm derivadas parciais contínuas). - A forma diferencial
é exata em (ou seja, existe uma função escalar cuja diferencial é ).
Passo 2
Entendendo a definição de “exata”: dizer que
é exata significa que existe uma função
tal que
O significado prático disso em coordenadas é: as componentes de
são as derivadas parciais de
. Ou seja,
Aqui estou usando a notação usual:
é
, etc.
Passo 3
Regularidade da potencial
: como
são de classe
e elas iguais às derivadas primeiras de
, segue que as derivadas segundas de
existem e são contínuas. Em termos práticos,
é de classe
em
. Isso é importante porque precisamos de continuidade das derivadas segundas para aplicar o teorema sobre derivadas parciais mistas.
Passo 4
Teorema das derivadas parciais mistas (teorema de Clairaut/Schwarz): se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança de um ponto, então as derivadas parciais mistas são iguais nesse ponto. Em notação,
e análogas para outros pares de variáveis. Como
, podemos usar esse resultado em todo
.
Passo 5
Agora relacionamos as derivadas de
com
e aplicamos o teorema das mistas. Primeiro par de igualdades:
Isto é,
Pelo teorema das derivadas mistas,
logo
Passo 6
Segundo par de igualdades (entre
e
): diferenciando
em relação a
e
em relação a
, obtemos
Pelo teorema das mistas, essas derivadas são iguais, então
Passo 7
Terceiro par de igualdades (entre
e
): diferenciando
em relação a
e
em relação a
, obtemos
Pelo teorema das mistas,
Passo 8
Resumo do raciocínio (versão alternativa rápida usando formas diferenciais): se
é exata então
. Calculando
para
chega-se aos coeficientes
Como
, todos os coeficientes são zero, o que fornece as três igualdades pedidas. (Use isso só como visão alternativa; a demonstração detalhada acima explicita por que as segundas derivadas existem e são iguais.)