Mostre que:
int Q=emptyset e conclua que Q não é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o interior dos números racionais, que a gente chama de Q, é vazio. E a partir disso, concluir que Q não é um conjunto aberto. Vamos precisar entender um pouco de conceitos de topologia, como interior de um conjunto e o que significa ser aberto. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto A em um espaço topológico é o maior conjunto aberto que está contido em A. Intuitivamente, são todos os pontos de A que têm uma “vizinhança” totalmente dentro de A.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos números racionais Q dentro dos números reais R. Sabemos que entre dois números reais sempre existe um número irracional e vice-versa. Isso significa que não importa quão perto você olha de um número racional, sempre vai ter números irracionais pertinho.

Passo 4

Vamos supor, para tentar provar, que existe algum ponto q in Q que está no interior de Q. Isso significaria que existe um intervalo aberto ao redor de q que está totalmente contido em Q. Em termos matemáticos, existe um epsilon > 0 tal que o intervalo (q - epsilon, q + epsilon) está todo dentro de Q.

Passo 5

Mas, como mencionamos antes, entre qualquer intervalo real sempre existem números irracionais. Portanto, esse intervalo (q - epsilon, q + epsilon) não pode estar totalmente contido em Q, já que tem números irracionais. Isso é uma contradição com a nossa suposição inicial.

Passo 6

Como não existe nenhum ponto em Q que tenha uma vizinhança completamente dentro de Q, isso significa que o interior de Q é vazio, ou seja, int(Q) = emptyset.

Passo 7

Agora, para concluir que Q não é aberto, lembramos que um conjunto é aberto se ele é igual ao seu interior. Como o interior de Q é vazio, e Q não é vazio, então Q não pode ser um conjunto aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que int(Q) = emptyset, e consequentemente, Q não é um conjunto aberto.

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