Mostre que:
int
e conclua que
não é aberto.
int
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o interior dos números racionais, que a gente chama de
, é vazio. E a partir disso, concluir que
não é um conjunto aberto. Vamos precisar entender um pouco de conceitos de topologia, como interior de um conjunto e o que significa ser aberto. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
em um espaço topológico é o maior conjunto aberto que está contido em
. Intuitivamente, são todos os pontos de
que têm uma “vizinhança” totalmente dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos números racionais
dentro dos números reais
. Sabemos que entre dois números reais sempre existe um número irracional e vice-versa. Isso significa que não importa quão perto você olha de um número racional, sempre vai ter números irracionais pertinho.
Passo 4
Vamos supor, para tentar provar, que existe algum ponto
que está no interior de
. Isso significaria que existe um intervalo aberto ao redor de
que está totalmente contido em
. Em termos matemáticos, existe um
tal que o intervalo
está todo dentro de
.
Passo 5
Mas, como mencionamos antes, entre qualquer intervalo real sempre existem números irracionais. Portanto, esse intervalo
não pode estar totalmente contido em
, já que tem números irracionais. Isso é uma contradição com a nossa suposição inicial.
Passo 6
Como não existe nenhum ponto em
que tenha uma vizinhança completamente dentro de
, isso significa que o interior de
é vazio, ou seja,
.
Passo 7
Agora, para concluir que
não é aberto, lembramos que um conjunto é aberto se ele é igual ao seu interior. Como o interior de
é vazio, e
não é vazio, então
não pode ser um conjunto aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que
, e consequentemente,
não é um conjunto aberto.