Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
; a partir de
.
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva
, tomando
(isto é, o ponto
) como origem do arco. O conteúdo envolvido é reparametrização de curvas por comprimento de arco: vamos precisar calcular a derivada, sua norma, integrar para achar
, inverter para
e substituir de volta.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a derivada da curva. Como
, temos:
Agora calculamos a norma da velocidade:
$$|\vec r,’(t)|=\sqrt{(-2\sin(2t))2+(2\cos(2t))2+2^2}
=\sqrt{4\sin^2(2t)+4\cos^2(2t)+4}
=\sqrt{4+4}
=2\sqrt2.$$
Com isso, o comprimento de arco desde
até
é
Passo 3
Invertendo a relação para ter
em função de
:
Passo 4
Por fim, substituímos
em
para obter a reparametrização pelo comprimento de arco:
Podemos checar facilmente que em
temos
e que
, confirmando que é uma parametrização por comprimento de arco.
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é