Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
r(t)=(cos (2 t), sen(2 t), 2 t); a partir de (1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva vec r(t)=(cos(2t),,sin(2t),,2t), tomando t=0 (isto é, o ponto (1,0,0)) como origem do arco. O conteúdo envolvido é reparametrização de curvas por comprimento de arco: vamos precisar calcular a derivada, sua norma, integrar para achar s(t), inverter para t(s) e substituir de volta.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada da curva. Como vec r(t)=(cos(2t),sin(2t),2t), temos:
vec r,'(t)=l(-2sin(2t),,2cos(2t),,2r)
Agora calculamos a norma da velocidade:
$$|\vec r,’(t)|=\sqrt{(-2\sin(2t))2+(2\cos(2t))2+2^2}
        =\sqrt{4\sin^2(2t)+4\cos^2(2t)+4}
        =\sqrt{4+4}
        =2\sqrt2.$$
Com isso, o comprimento de arco desde |vec r,'(t)|=raiz(-2sin(2t))^2+(2cos(2t))^2+2^2 =raiz4sin^2(2t)+4cos^2(2t)+4 =raiz4+4 =2raiz2 até t=0 é
t

Passo 3

Invertendo a relação para ter t em função de s:
t=s2raiz2

Passo 4

Por fim, substituímos t(s) em vec r(t) para obter a reparametrização pelo comprimento de arco:
vec r(s)=l(cosl(2tfracs2raiz2r),,sinl(2tfracs2raiz2r),,2tfracs2raiz2r) =l(costfracsraiz2,,sintfracsraiz2,,tfracsraiz2r)
Podemos checar facilmente que em s=0 temos (1,0,0) e que |dvec r/ds|=1, confirmando que é uma parametrização por comprimento de arco.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
vec r(s)=l(costfracsraiz2,,sintfracsraiz2,,tfracsraiz2r)

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