for uma função diferenciável de
e
e
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função diferenciável $ f $ de duas variáveis, $ x $ e $ y $, onde $ u = f(x, y) $. Além disso, temos que $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. O objetivo é mostrar que:
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e manipular as expressões para chegar nessa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ \theta $ usando a regra da cadeia. Sabemos que:
E
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando $ \frac{\partial x}{\partial r} $ e $ \frac{\partial y}{\partial r} $:
Agora, as derivadas em relação a $ \theta $:
Passo 4
Substituindo esses valores nas expressões de $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
Simplificando a segunda expressão:
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado as expressões $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
Passo 6
Expandindo os quadrados:
Passo 7
Agora, somamos $ \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^{2} $ e $ \frac{1}{r^{2}} \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^{2} $:
Passo 8
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Para $ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2} $:
Para $ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2} $:
Para os termos cruzados:
Passo 9
Simplificando tudo, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: