f for uma função diferenciável de x e y e u=f(x, y), x=r cos theta e y=r sin theta, mostre que
(vartheta uvartheta r)^2+1r^2(vartheta uvartheta theta)^2=(vartheta uvartheta x)^2+(vartheta uvartheta y)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função diferenciável $ f $ de duas variáveis, $ x $ e $ y $, onde $ u = f(x, y) $. Além disso, temos que $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. O objetivo é mostrar que:
f
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e manipular as expressões para chegar nessa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ \theta $ usando a regra da cadeia. Sabemos que:
u
E
r
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando $ \frac{\partial x}{\partial r} $ e $ \frac{\partial y}{\partial r} $:
partial xpartial r
partial ypartial r
Agora, as derivadas em relação a $ \theta $:
partial xpartial r = cos theta
partial ypartial r = sin theta

Passo 4

Substituindo esses valores nas expressões de $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
partial upartial r
partial upartial theta
Simplificando a segunda expressão:
partial upartial r = partial fpartial x cdot cos theta + partial fpartial y cdot sin theta

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado as expressões $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
partial upartial r
partial upartial theta

Passo 6

Expandindo os quadrados:
(partial upartial r)^2 = (partial fpartial x)^2 cos^2 theta + 2 partial fpartial x partial fpartial y cos theta sin theta + (partial fpartial y)^2 sin^2 theta
(partial upartial theta)^2 = r^2 sin^2 theta (partial fpartial x)^2 - 2 r^2 sin theta cos theta partial fpartial x partial fpartial y + r^2 cos^2 theta (partial fpartial y)^2

Passo 7

Agora, somamos $ \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^{2} $ e $ \frac{1}{r^{2}} \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^{2} $:
(partial upartial r)^2

Passo 8

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Para $ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2} $:
(partial fpartial x)^2
Para $ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2} $:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Para os termos cruzados:
(partial fpartial y)^2

Passo 9

Simplificando tudo, temos:
(partial upartial r)^2 + 1r^2 (partial upartial theta)^2 = (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
(partial upartial r)^2 + 1r^2(partial upartial theta)^2 = (partial upartial x)^2 + (partial upartial y)^2

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