Dada a curva descrita pelas equações paramétricas :
Existe um ponto da curva onde o plano osculador é paralelo ao plano ?
Passo 1
A curva é dada por . O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas: para achar o plano osculador usamos o vetor binormal , que é paralelo a . Para que esse plano seja paralelo a , precisamos de paralelo a .
Passo 2
Primeiro calculemos o vetor velocidade e o vetor aceleração :
Passo 3
Agora formamos o produto vetorial para obter a direção do binormal:
Passo 4
Para que (36t^2,,-12t^4,,-18t) seja paralelo a (1,1,1), existe lambda tal que
36t^2=lambda, -12t^4=lambda, -18t=lambda
Igualando pares de equações obtemos
36t^2=-12t^4implies t^2(3+t^2)=0implies t=0,
36t^2=-18timplies t(2t+1)=0implies t=0 ou t=-tfrac12
A única solução comum é t=0.
Passo 5
No entanto, em t=0 temos r''(0)=(0,0,0), ou seja, a curvatura é zero e o plano osculador não está bem definido. Logo não existe ponto da curva onde o plano osculador seja paralelo ao plano x+y+z=1.
Resposta
Não existe ponto da curva com plano osculador paralelo ao plano x+y+z=1.