Dada a curva descrita pelas equações paramétricas x=t^3, y=3 t, z=t^4 :
Existe um ponto da curva onde o plano osculador é paralelo ao plano x+y+z=1 ?

Passo 1

A curva é dada por r(t)=(t^3,,3t,,t^4). O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas: para achar o plano osculador usamos o vetor binormal B(t), que é paralelo a r'(t)times r''(t). Para que esse plano seja paralelo a x+y+z=1, precisamos de B(t) paralelo a (1,1,1).

Passo 2

Primeiro calculemos o vetor velocidade r'(t) e o vetor aceleração r''(t):
r'(t)=(3t^2,,3,,4t^3),
r''(t)=(6t,,0,,12t^2)

Passo 3

Agora formamos o produto vetorial r'(t)times r''(t) para obter a direção do binormal:
r'(t)times r''(t)= i&j&k 3t^2&3&4t^3 6t&0&12t^2 = (36t^2,,-12t^4,,-18t)

Passo 4

Para que (36t^2,,-12t^4,,-18t) seja paralelo a (1,1,1), existe lambda tal que
36t^2=lambda, -12t^4=lambda, -18t=lambda
Igualando pares de equações obtemos
36t^2=-12t^4implies t^2(3+t^2)=0implies t=0,
36t^2=-18timplies t(2t+1)=0implies t=0 ou t=-tfrac12
A única solução comum é t=0.

Passo 5

No entanto, em t=0 temos r''(0)=(0,0,0), ou seja, a curvatura é zero e o plano osculador não está bem definido. Logo não existe ponto da curva onde o plano osculador seja paralelo ao plano x+y+z=1.

Resposta

Não existe ponto da curva com plano osculador paralelo ao plano x+y+z=1.

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