Mostre que:
\int_{0}^{x} f(u)(x-u) d u=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u} f(t) d t\right) d u

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que as duas expressões abaixo são iguais:
\int_{0}^{x} f(u)(x-u)\,du=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u} f(t)\,dt\right)\,du.
Informações dadas (explicitando o que usamos): x é um número fixo positivo e f é uma função tal que as integrais que aparecem existem (por exemplo, f integrável em [0,x]). As variáveis de integração são u e t. Nosso objetivo é provar igualdade das duas integrais para esse x.

Passo 2

Ideia principal (sem calcular ainda): escrever o fator x-u como uma integral em relação a uma nova variável e transformar a integral simples em uma integral iterada (duas integrais). Isso abre a possibilidade de trocar a ordem de integração e reconhecer a outra expressão. A identidade básica que usaremos é, para 0\le u\le x,
x-u=\int_{u}^{x} 1\,dt,
pois integrar a função constante 1 de t=u até t=x dá exatamente x-u. Esta manipulação é válida porque estamos em um intervalo finito.

Passo 3

Aplicando a identidade do passo anterior dentro da integral da esquerda:
\int_{0}^{x} f(u)(x-u)\,du = \int_{0}^{x} f(u)\left(\int_{u}^{x} 1\,dt\right)\,du.
Agora, por propriedades da multiplicação por constantes e da integral iterada, podemos escrever isso como uma integral dupla iterada:
\int_{0}^{x} f(u)\left(\int_{u}^{x} 1\,dt\right)\,du = \int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{x} f(u)\,dt\right)\,du.
Aqui dentro a função integrada é f(u) (não depende de t), por isso aparece como constante dentro da integral em t.

Passo 4

Interprete geometricamente a integral dupla obtida. O domínio de integração em variáveis (u,t) é
R=\{(u,t)\mid 0\le u\le x,\; u\le t\le x\}.
Este é o triângulo (na região do plano) acima da diagonal t=u, entre 0 e x. A integral dupla atual é
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{x} f(u)\,dt\right)\,du = \iint_{R} f(u)\,dA,
onde dA representa dt\,du (ou du\,dt). Como R é um conjunto de medida finita e f é integrável em [0,x], podemos trocar a ordem de integração (teorema de Fubini/Tonelli ou simplesmente a descrição do domínio para integrais iteradas). Ao trocar a ordem, parametrize por t primeiro: t varia de 0 a x e, para cada t, u varia de 0 a t. Assim
\int_{0}^{x}\left(\int_{u}^{x} f(u)\,dt\right)\,du = \int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t} f(u)\,du\right)\,dt.

Passo 5

Renomeando variáveis (os nomes das variáveis de integração são indicativos; podemos trocar t por u e u por t sem alterar o valor), obtemos
\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t} f(u)\,du\right)\,dt = \int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u} f(t)\,dt\right)\,du.
Portanto chegamos exatamente à expressão do lado direito do enunciado. Assim mostramos a igualdade desejada.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido e exemplo: a técnica usada é muito útil — transformar um fator do tipo (x-u) em \int_{u}^{x}1\,dt e depois trocar a ordem de integração. Para ver que funciona em um caso concreto, tome f\equiv 1. Então a identidade vira
\int_{0}^{x} (x-u)\,du = \int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u}1\,dt\right)\,du.
O lado esquerdo é \displaystyle\int_{0}^{x}(x-u)\,du=\frac{x^{2}}{2} e o lado direito também dá \displaystyle\int_{0}^{x}u\,du=\frac{x^{2}}{2}, confirmando a identidade no exemplo.

Resposta

\int_{0}^{x} f(u)(x-u)\,du=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u} f(t)\,dt\right)\,du.

Exercícios relacionados