Mostre que:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que as duas expressões abaixo são iguais:
Informações dadas (explicitando o que usamos):
é um número fixo positivo e
é uma função tal que as integrais que aparecem existem (por exemplo,
integrável em
). As variáveis de integração são
e
. Nosso objetivo é provar igualdade das duas integrais para esse
.
Passo 2
Ideia principal (sem calcular ainda): escrever o fator
como uma integral em relação a uma nova variável e transformar a integral simples em uma integral iterada (duas integrais). Isso abre a possibilidade de trocar a ordem de integração e reconhecer a outra expressão. A identidade básica que usaremos é, para
,
pois integrar a função constante
de
até
dá exatamente
. Esta manipulação é válida porque estamos em um intervalo finito.
Passo 3
Aplicando a identidade do passo anterior dentro da integral da esquerda:
Agora, por propriedades da multiplicação por constantes e da integral iterada, podemos escrever isso como uma integral dupla iterada:
Aqui dentro a função integrada é
(não depende de
), por isso aparece como constante dentro da integral em
.
Passo 4
Interprete geometricamente a integral dupla obtida. O domínio de integração em variáveis
é
Este é o triângulo (na região do plano) acima da diagonal
, entre
e
. A integral dupla atual é
onde
representa
(ou
). Como
é um conjunto de medida finita e
é integrável em
, podemos trocar a ordem de integração (teorema de Fubini/Tonelli ou simplesmente a descrição do domínio para integrais iteradas). Ao trocar a ordem, parametrize por
primeiro:
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Assim
Passo 5
Renomeando variáveis (os nomes das variáveis de integração são indicativos; podemos trocar
por
e
por
sem alterar o valor), obtemos
Portanto chegamos exatamente à expressão do lado direito do enunciado. Assim mostramos a igualdade desejada.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido e exemplo: a técnica usada é muito útil — transformar um fator do tipo
em
e depois trocar a ordem de integração. Para ver que funciona em um caso concreto, tome
. Então a identidade vira
O lado esquerdo é
e o lado direito também dá
, confirmando a identidade no exemplo.