Calcule
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e o que nos interessa observar:
- A expressão envolve a integral
. - Quando
temos (pois os limites de integração coincidem). - O denominador
também tende a quando . - Portanto a forma é uma indeterminação do tipo
ou, mais claramente, a parte é do tipo . Precisamos eliminar essa indeterminação para achar o limite.
Passo 2
Vamos isolar a parte que dá a indeterminação e verificar o tipo:
Como já notado, o numerador tende a
e o denominador tende a
quando
. Para tratar limites do tipo
temos ferramentas como o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar a integral) e a regra de L’Hôpital. Vou explicar cada ferramenta antes de aplicar.
Passo 3
Teorema Fundamental do Cálculo (forma utilizada aqui): se
é contínua numa vizinhança de
, então a função definida por
é diferenciável e
.
No nosso caso . Como
não é ponto de descontinuidade (a função
é contínua em
), podemos aplicar o teorema: a função
No nosso caso
é diferenciável e
Isso nos dá uma expressão simples para a derivada do numerador da fração indeterminada.
Passo 4
Regra de L’Hôpital (versão prática): se
e
, e
e
são diferenciáveis próximo de
com
próximo de
, então
desde que o limite do lado direito exista.
Aplicamos com e
. Temos
,
; além disso
e
existem perto de
e são
e
. Portanto
Aplicamos com
Passo 5
Voltemos à expressão original. Ela é
Tomando limite e usando que
e o resultado do passo anterior,
Aqui usei que ambas as limites parciais existem (uma é óbvia:
; a outra foi obtida por L’Hôpital), então o limite do produto é o produto dos limites.
Passo 6
(Seguindo intuição alternativa, rápida) Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
entre
e
tal que
Então a expressão vira
e, quando
, temos
, logo o limite é
. Isso confirma o resultado anterior e dá uma intuição geométrica.