Calcule
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x}{x-2} \int_{2}^{x} \frac{\sin t}{t} d t\right)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\left(\frac{x}{x-2}\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt\right).
Informações dadas e o que nos interessa observar:
  • A expressão envolve a integral \displaystyle \int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
  • Quando x\to 2 temos \displaystyle \int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt \to 0 (pois os limites de integração coincidem).
  • O denominador x-2 também tende a 0 quando x\to 2.
  • Portanto a forma é uma indeterminação do tipo 0\cdot\frac{0}{0} ou, mais claramente, a parte \displaystyle \frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2} é do tipo \frac{0}{0}. Precisamos eliminar essa indeterminação para achar o limite.

Passo 2

Vamos isolar a parte que dá a indeterminação e verificar o tipo:
\frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2}.
Como já notado, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0 quando x\to 2. Para tratar limites do tipo \frac{0}{0} temos ferramentas como o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar a integral) e a regra de L’Hôpital. Vou explicar cada ferramenta antes de aplicar.

Passo 3

Teorema Fundamental do Cálculo (forma utilizada aqui): se f é contínua numa vizinhança de a, então a função definida por
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável e F'(x)=f(x).
No nosso caso f(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Como t=2 não é ponto de descontinuidade (a função \sin t/t é contínua em t=2), podemos aplicar o teorema: a função
F(x)=\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt
é diferenciável e
F'(x)=\frac{\sin x}{x}.
Isso nos dá uma expressão simples para a derivada do numerador da fração indeterminada.

Passo 4

Regra de L’Hôpital (versão prática): se \lim_{x\to a} G(x)=0 e \lim_{x\to a} H(x)=0, e G e H são diferenciáveis próximo de a com H'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{G(x)}{H(x)} = \lim_{x\to a}\frac{G'(x)}{H'(x)}
desde que o limite do lado direito exista.
Aplicamos com G(x)=F(x)=\displaystyle\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt e H(x)=x-2. Temos G(2)=0, H(2)=0; além disso G' e H' existem perto de 2 e são G'(x)=\dfrac{\sin x}{x} e H'(x)=1. Portanto
\lim_{x\to 2}\frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{\frac{\sin x}{x}}{1} = \frac{\sin 2}{2}.

Passo 5

Voltemos à expressão original. Ela é
\frac{x}{x-2}\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt = x\cdot \frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2}.
Tomando limite e usando que x\to 2 e o resultado do passo anterior,
\lim_{x\to 2} x\cdot \frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2} = \left(\lim_{x\to 2} x\right)\cdot \left(\lim_{x\to 2}\frac{\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x-2}\right) = 2\cdot \frac{\sin 2}{2} = \sin 2.
Aqui usei que ambas as limites parciais existem (uma é óbvia: \lim_{x\to2} x=2; a outra foi obtida por L’Hôpital), então o limite do produto é o produto dos limites.

Passo 6

(Seguindo intuição alternativa, rápida) Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c entre 2 e x tal que
\int_{2}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt = (x-2)\frac{\sin c}{c}.
Então a expressão vira x\cdot\frac{\sin c}{c} e, quando x\to 2, temos c\to 2, logo o limite é 2\cdot\frac{\sin 2}{2}=\sin 2. Isso confirma o resultado anterior e dá uma intuição geométrica.

Resposta

\sin 2

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