Mostre que as integrais dadas representam as funções indicadas. Sugestão. Use (5), (11) ou (13); a integral lhe informará qual equação usar e seu valor dirá qual função considerar. (Mostre os detalhes do que fizer.)
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x w+w \operatorname{sen} x w}{1+w^{2}} d w=\left\{\begin{array}{ccc}0 & \text { se } & x<0 \\\ \pi / 2 & \text { se } & x=0 \\\ \pi e^{-x} & \text { se } & x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a função de parâmetro x\) dada por \[\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(xw)+w\sin(xw)}{1+w^{2}}\,dw
é igual à função peça-a-peça
\begin{cases} 0, & \text{se } x<0,\\[4pt] \pi/2, & \text{se } x=0,\\[4pt] \pi e^{-x}, & \text{se } x>0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integral é imprópria no limite superior w\to\infty\] e depende do parâmetro real \(x.
  • A sugestão indica usar fórmulas conhecidas (rotuladas no livro por (5),(11) ou (13)); em particular usaremos a fórmula clássica para a integral com \cos e, então, obteremos a integral com w\sin por diferenciação em relação ao parâmetro.
  • Precisamos justificar os passos (por exemplo: diferenciação sob o sinal de integral ou avaliação em x=0).]

Passo 2

Separe a integral em duas parcelas para trabalhar com calma. Defina
I(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(xw)+w\sin(xw)}{1+w^{2}}\,dw
e escreva
I(x)=I_{1}(x)+I_{2}(x),
onde
I_{1}(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(xw)}{1+w^{2}}\,dw, \qquad I_{2}(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{w\sin(xw)}{1+w^{2}}\,dw.
Vamos avaliar I_{1} e I_{2} separadamente e depois somá-los. É mais simples começar por I_{1}, pois existe uma fórmula padrão para ela.

Passo 3

Apresente a fórmula padrão (que é a que o enunciado sugere usar): para todo real a vale
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(a w)}{1+w^{2}}\,dw=\frac{\pi}{2}e^{-|a|}.
Explicação didática do que essa fórmula significa e por que confiar nela rapidamente:
  • Essa é uma integral conhecida da transformada de Fourier / transformada de Laplace de funções exponenciais; pode ser provada por integração complexa (resíduos) ou por argumentos de transformada de Fourier. O importante para a prova pedida é que essa identidade é válida para todo a\in\mathbb{R}.
  • Aplicando essa fórmula com a=x obtemos imediatamente
I_{1}(x)=\frac{\pi}{2}e^{-|x|}.

Passo 4

A partir de I_{1} obtenha I_{2} diferenciando em relação ao parâmetro x. Primeiro note que, formalmente,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(xw)\bigr)=-w\sin(xw).
Portanto, se pudermos diferenciar sob o sinal de integral, teremos
\frac{d}{dx}I_{1}(x) =\frac{d}{dx}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(xw)}{1+w^{2}}\,dw =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\cos(xw)}{1+w^{2}}\right)\,dw =-\int_{0}^{\infty}\frac{w\sin(xw)}{1+w^{2}}\,dw.
Ou seja,
I_{2}(x)=-I_{1}'(x).

Passo 5

Justifique rapidamente a diferenciação sob o sinal de integral (sem entrar em demonstrações técnicas profundas): para cada R>0 a integral \int_{0}^{R}\cos(xw)/(1+w^{2})\,dw pode ser diferenciada em x porque o integrando é C^{1} em x para w em [0,R]. Em seguida passa-se ao limite R\to\infty. A convergência da família de integrais e o comportamento oscilatório do seno e cosseno (testes tipo Dirichlet) garantem que a troca limite-diferenciação é válida para x\neq 0, e para x=0 a integral original será avaliada diretamente (ver passo específico). Assim a relação I_{2}(x)=-I_{1}'(x) é justificada para x\neq 0 e estendida por continuidade em x=0 quando conveniente.

Passo 6

Calcule I_{2}(x)\) usando a expressão de \(I_{1}(x)\). Já temos \[I_{1}(x)=\frac{\pi}{2}e^{-|x|}.
Calcule a derivada dessa função em x. Lembre que a derivada de e^{-|x|} é -\operatorname{sgn}(x)e^{-|x|} para x\neq 0, onde
\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\\\ -1, & x<0. \end{cases}
Logo, para x\neq 0\], \[I_{1}'(x)=\frac{\pi}{2}\cdot\bigl(-\operatorname{sgn}(x)\bigr)e^{-|x|} = -\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)e^{-|x|}.\] Pelo passo anterior \(I_{2}(x)=-I_{1}'(x), então, para x\neq 0,
I_{2}(x)=-\bigl(-\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)e^{-|x|}\bigr) =\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)e^{-|x|}.

Passo 7

Agora some I_{1} e I_{2} para obter I(x) quando x\neq 0:
I(x)=I_{1}(x)+I_{2}(x) =\frac{\pi}{2}e^{-|x|}+\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)e^{-|x|} =\frac{\pi}{2}e^{-|x|}\bigl(1+\operatorname{sgn}(x)\bigr).
Analise a expressão para os dois casos de x:
  • Se x>0, então \operatorname{sgn}(x)=1 e
I(x)=\frac{\pi}{2}e^{-x}(1+1)=\pi e^{-x}.
  • Se x<0, então \operatorname{sgn}(x)=-1 e
I(x)=\frac{\pi}{2}e^{-|x|}(1-1)=0.
Portanto para x\neq 0 já obtivemos as duas parcelas desejadas: 0 para x<0 e \pi e^{-x} para x>0.

Passo 8

Trate o caso x=0 separadamente (avaliar diretamente a integral):
quando x=0 o integrando fica \dfrac{\cos(0\cdot w)+w\sin(0\cdot w)}{1+w^{2}}=\dfrac{1+0}{1+w^{2}}=\dfrac{1}{1+w^{2}}. Então
I(0)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+w^{2}}\,dw=\left[\arctan w\right]_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2}.
Isso coincide com o limite dos casos anteriores: por exemplo, \lim_{x\to 0^{+}}\pi e^{-x}=\pi ? atenção: esse limite é \pi, mas o valor direto da integral em x=0 é \pi/2. Por isso é importante calcular x=0 diretamente; a fórmula combinada com \operatorname{sgn} não cobre o ponto x=0 automaticamente, e o enunciado já pedia o valor específico em x=0.

Passo 9

Resumo final e comentário encorajador: juntando os resultados dos passos anteriores, mostramos que a integral vale exatamente o que o enunciado afirma:
  • para x<0, I(x)=0;
  • para x=0, I(0)=\pi/2;
  • para x>0, I(x)=\pi e^{-x}.
Se bateu um pânico no começo: respira fundo — separar a integral, usar uma fórmula padrão e a diferenciação em relação ao parâmetro é um truque clássico que resolve muita coisa parecida. Você faz isso na prova e pontua muito bem!

Resposta

0 para x<0
\pi/2 para x=0
\pi e^{-x} para x>0

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