1. Considere a série de potências
f(x)=1+2 x+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}+\cdots
(a) Encontre uma fórmula explícita para a função f(x).
(b) Determine o intervalo de convergência da série.
6. Considere a função de Airy definida pela série
A(x)=1+\frac{x^{3}}{2 \cdot 3}+\frac{x^{6}}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}+\cdots

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • Problema 5: A série de potências dada é
f(x)=1+2x+x^{2}+2x^{3}+x^{4}+\cdots.
  • (a) Pedem que eu encontre uma fórmula explícita para a função f(x) (ou seja, uma expressão fechada em termos de x).
  • (b) Pedem o intervalo de convergência da série (os valores de x para os quais a série converge).
  • Problema 6: Foi dada a função de Airy por uma série
A(x)=1+\frac{x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{x^{6}}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\cdots.
  • O enunciado não especificou explicitamente a pergunta, então vou: (i) identificar a forma geral da série, (ii) determinar o intervalo (ou raio) de convergência e (iii) obter uma expressão fechada (quando possível) que escreva A(x) em termos de funções elementares. Todas essas informações são úteis em provas e elucidam o comportamento da série.

Passo 2

Interpretação da série do item 5 e ideia geral para resolver (sem ainda calcular): vou separar termos pares e ímpares porque os coeficientes seguem um padrão que se repete a cada dois termos. Isso transforma f(x) em soma de duas séries geométricas simples, que podemos somar com a fórmula clássica da série geométrica.
Lembrete rápido (mini-aula): a série geométrica é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r},
válida sempre que |r|<1. Aqui r é a razão comum. Essa fórmula é fundamental e vamos usá-la duas vezes.

Passo 3

Desenvolvimento do item 5(a) — achar fórmula explícita.
Observe o padrão dos coeficientes: para n par o coeficiente é 1 e para n ímpar o coeficiente é 2. Podemos escrever f(x) como soma dos termos com potências pares mais a soma dos termos com potências ímpares:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} + 2\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}.
Agora transformo cada soma numa geométrica reconhecível. A primeira soma é a geométrica com razão x^{2}:
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\sum_{k=0}^{\infty} (x^{2})^{k}=\frac{1}{1-x^{2}}\quad\text{(para \(|x^{2}|<1\))}.
A segunda soma tem um fator x a mais:
2\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}=2x\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=2x\cdot\frac{1}{1-x^{2}}\quad\text{(para \(|x^{2}|<1\))}.
Somando as duas expressões:
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}+\frac{2x}{1-x^{2}}=\frac{1+2x}{1-x^{2}}.
Portanto consegui a fórmula explícita. (Aqui usei passo a passo a soma da geométrica; na prova basta mostrar a separação em pares/ímpares e aplicar a fórmula.)

Passo 4

Desenvolvimento do item 5(b) — intervalo de convergência.
As somas geométricas usadas exigem |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Então a série tem raio de convergência pelo menos limitado por |x|<1.
Agora preciso verificar os extremos x=1 e x=-1.
  • Para x=1: a série torna-se
    1+2+1+2+\cdots,
    cujas somas parciais divergem (tendem a +\infty), logo diverge.
  • Para x=-1: a série torna-se
    1-2+1-2+\cdots.
    As somas parciais oscilam entre valores (por exemplo, 1, -1, 0, -2,\dots) e não convergem; portanto diverge.
Conclusão: o intervalo de convergência é (-1,1). (Na prova, sempre cheque extremos separadamente.)

Passo 5

Interpretando a série do item 6 — reescrevendo em forma geral.
Olhe atentamente aos denominadores: 2\cdot3=3!, e 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=6!. Assim podemos reconhecer o termo geral. A série é
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}.
Aqui usei n=0 para o termo 1, n=1 para o termo \dfrac{x^{3}}{3!}, n=2 para \dfrac{x^{6}}{6!}, e assim por diante. Essa é uma subsequência dos termos da série exponencial e^{x}=\sum_{m=0}^\infty \dfrac{x^{m}}{m!}, contendo só os índices múltiplos de 3.

Passo 6

Convergência do item 6 (mini-aula e teste da razão).
Para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!} uso o teste da razão. Seja o termo geral a_{n}=\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|x|^{3(n+1)}/(3(n+1))!}{|x|^{3n}/(3n)!} = \frac{|x|^{3}}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}.
Quando n\to\infty o denominador cresce como 27 n^{3}, então
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=0
para todo x\in\mathbb{R}. Como o limite é 0<1, a série converge absolutamente para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito e A(x) é uma função inteira (converge para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 7

Expressão fechada do item 6 usando a filtragem por raízes da unidade (fórmula prática).
Ideia: a série exponencial é
e^{x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Queremos extrair apenas os termos com m múltiplo de 3. Para isso usamos as raízes cúbicas da unidade. Defina \omega=e^{2\pi i/3}, então \omega^{3}=1 e 1+\omega^{k}+\omega^{2k}=0 sempre que k\not\equiv 0\pmod{3}, enquanto que 1+\omega^{k}+\omega^{2k}=3 quando k\equiv 0\pmod{3}. A média
\frac{1}{3}\bigl(e^{x}+e^{\omega x}+e^{\omega^{2}x}\bigr)
filtra exatamente os termos com índice múltiplo de 3. Logo
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}=\frac{1}{3}\bigl(e^{x}+e^{\omega x}+e^{\omega^{2}x}\bigr).
Agora escrevo isso em termos reais. Como \omega=-\tfrac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} e \omega^{2}=-\tfrac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}, temos
e^{\omega x}+e^{\omega^{2}x}=2e^{-x/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right).
Portanto a forma real é
A(x)=\frac{1}{3}\left(e^{x}+2e^{-x/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right).
Essa é uma expressão fechada útil e real para todos x.

Resposta

5(a) \displaystyle f(x)=\frac{1+2x}{1-x^{2}}.\n
5(b) intervalo de convergência: (-1,1).\n
6 \displaystyle A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}=\frac{1}{3}\!\left(e^{x}+2e^{-x/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right), e a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).

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