(a) Encontre uma fórmula explícita para a função f(x).
(b) Determine o intervalo de convergência da série.
6. Considere a função de Airy definida pela série
O enunciado não especificou explicitamente a pergunta, então vou: (i) identificar a forma geral da série, (ii) determinar o intervalo (ou raio) de convergência e (iii) obter uma expressão fechada (quando possível) que escreva A(x) em termos de funções elementares. Todas essas informações são úteis em provas e elucidam o comportamento da série.
Passo 2
Interpretação da série do item 5 e ideia geral para resolver (sem ainda calcular): vou separar termos pares e ímpares porque os coeficientes seguem um padrão que se repete a cada dois termos. Isso transforma f(x) em soma de duas séries geométricas simples, que podemos somar com a fórmula clássica da série geométrica.
Lembrete rápido (mini-aula): a série geométrica é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r},
válida sempre que |r|<1. Aqui r é a razão comum. Essa fórmula é fundamental e vamos usá-la duas vezes.
Passo 3
Desenvolvimento do item 5(a) — achar fórmula explícita.
Observe o padrão dos coeficientes: para n par o coeficiente é 1 e para n ímpar o coeficiente é 2. Podemos escrever f(x) como soma dos termos com potências pares mais a soma dos termos com potências ímpares:
Portanto consegui a fórmula explícita. (Aqui usei passo a passo a soma da geométrica; na prova basta mostrar a separação em pares/ímpares e aplicar a fórmula.)
Passo 4
Desenvolvimento do item 5(b) — intervalo de convergência.
As somas geométricas usadas exigem |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Então a série tem raio de convergência pelo menos limitado por |x|<1.
Agora preciso verificar os extremos x=1 e x=-1.
Para x=1: a série torna-se
1+2+1+2+\cdots,
cujas somas parciais divergem (tendem a +\infty), logo diverge.
Para x=-1: a série torna-se
1-2+1-2+\cdots.
As somas parciais oscilam entre valores (por exemplo, 1, -1, 0, -2,\dots) e não convergem; portanto diverge.
Conclusão: o intervalo de convergência é (-1,1). (Na prova, sempre cheque extremos separadamente.)
Passo 5
Interpretando a série do item 6 — reescrevendo em forma geral.
Olhe atentamente aos denominadores: 2\cdot3=3!, e 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=6!. Assim podemos reconhecer o termo geral. A série é
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}.
Aqui usei n=0 para o termo 1, n=1 para o termo \dfrac{x^{3}}{3!}, n=2 para \dfrac{x^{6}}{6!}, e assim por diante. Essa é uma subsequência dos termos da série exponencial e^{x}=\sum_{m=0}^\infty \dfrac{x^{m}}{m!}, contendo só os índices múltiplos de 3.
Passo 6
Convergência do item 6 (mini-aula e teste da razão).
Para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!} uso o teste da razão. Seja o termo geral a_{n}=\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}. Então
para todo x\in\mathbb{R}. Como o limite é 0<1, a série converge absolutamente para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito e A(x) é uma função inteira (converge para todo x\in\mathbb{R}).
Passo 7
Expressão fechada do item 6 usando a filtragem por raízes da unidade (fórmula prática).
Ideia: a série exponencial é
e^{x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Queremos extrair apenas os termos com m múltiplo de 3. Para isso usamos as raízes cúbicas da unidade. Defina \omega=e^{2\pi i/3}, então \omega^{3}=1 e 1+\omega^{k}+\omega^{2k}=0 sempre que k\not\equiv 0\pmod{3}, enquanto que 1+\omega^{k}+\omega^{2k}=3 quando k\equiv 0\pmod{3}. A média
Essa é uma expressão fechada útil e real para todos x.
Resposta
5(a) \displaystyle f(x)=\frac{1+2x}{1-x^{2}}.\n
5(b) intervalo de convergência: (-1,1).\n
6 \displaystyle A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}=\frac{1}{3}\!\left(e^{x}+2e^{-x/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right), e a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).