(a) Para [f(x)=e^{x}) em a=0, mostre que \left|R_{n}(x)\right| \leq \frac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}
(b) Para f(x)=\sin x em a=0, mostre que \left|R_{n}(x)\right| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
(c) Para f(x)=\ln (1+x) em a=0 com |x|<1, mostre que \left|R_{n}(x)\right| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}
(d) Determine o menor n tal que T_{n}(1) aproxime e com erro <10^{-6}
(e) Determine o menor n tal que T_{n}(0.5) aproxime \ln 1.5 com erro <10^{-4}
Parte 5: Problemas Desafiadores
(a) Mostre que J_{0} satisfaz a equação diferencial x^{2} J_{0}^{\prime \prime}(x)+x J_{0}^{\prime}(x)+x^{2} J_{0}(x)=0
(a) Encontre a série de Maclaurin para \operatorname{erf}(x)
(a) Mostre que f^{(n)}(0)=0 para todo n
(b) Determine o raio de convergência da série
(b) Use a série para aproximar \operatorname{erf}(0.5) com erro menor que 10^{-4}
(b) Qual é a série de Taylor de f em x=0 ?
2. A função erro é definida por:
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t
Considere a função f(x)= \begin{cases}e^{-1 / x^{2}} & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}\]
\text{(c)} A série converge para \(f(x) ?
Passo 1
Listando com calma o que o enunciado pede e quais dados temos (vou enumerar para não perder nada):
(a) Para [f(x)=e^{x}) em a=0: mostrar uma cota para o resto R_{n}(x), mais precisamente \left|R_{n}(x)\right| \leq \dfrac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!}.
(b) Para f(x)=\sin x em a=0: mostrar \left|R_{n}(x)\right| \leq \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}.
(c) Para f(x)=\ln(1+x) em a=0 com |x|<1: mostrar \left|R_{n}(x)\right| \leq \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}.
(d) Determinar o menor n tal que o polinômio de Taylor T_{n}(1) aproxime e com erro <10^{-6}.
(e) Determinar o menor n tal que T_{n}(0.5) aproxime \ln 1.5 com erro <10^{-4}.
Depois vem a Parte 5 (problemas desafiadores), com vários itens:
Definição de J_{0}:J_{0}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n}(n!)^{2}}.Pedidos:
Mostrar que J_{0} satisfaz a EDO \;x^{2}J_{0}''(x)+xJ_{0}'(x)+x^{2}J_{0}(x)=0.
Determinar o raio de convergência da série de J_{0}.
A função erro:\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.Pedidos:
Encontrar a série de Maclaurin para \operatorname{erf}(x).
Usar a série para aproximar \operatorname{erf}(0.5) com erro <10^{-4}.
A funçãof(x)=\begin{cases} e^{-1/x^{2}}, & x\neq 0,\\\\ 0, & x=0, \end{cases}Pedidos:
Mostrar que f^{(n)}(0)=0\] para todo \(n.
Qual é a série de Taylor de f em x=0?
A série (de Taylor) converge para f(x)?
Agora que está tudo claro e organizado, eu começo a resolver passo a passo e a ensinar o que for necessário para cada item.
Passo 2
Ferramenta principal: forma do resto (Lagrange) da série de Taylor e outras formas úteis.
Teorema (forma de Lagrange do resto). Se f tem derivadas até ordem n+1 em um intervalo contendo 0 e x, então existe \xi entre 0 e x tal que
Outro resultado útil: para séries alternadas com termos de módulo decrescente a zero (teste da série alternada), o erro ao truncar após n termos tem módulo menor que o módulo do próximo termo. Em fórmulas: se \sum (-1)^k a_k com a_k\downarrow 0, então |R_n|\le a_{n+1}.
Vou usar a forma de Lagrange quando for natural (ex.: e^x, \sin x) e o teste da série alternada quando for mais simples (ex.: \ln(1+x) pelo seu desenvolvimento alternado).
Passo 3
(a) Para f(x)=e^{x} em a=0.
Observação sobre derivadas: todas as derivadas de e^{x} são e^{x}. Ou seja,
f^{(k)}(x)=e^{x}\quad\text{para todo }k\ge0.
Aplicando a forma de Lagrange do resto: existe \xi entre 0 e x tal que
R_{n}(x)=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}.
Tomando o valor absoluto e usando |e^{\xi}|=e^{\xi}\le e^{|\xi|}\le e^{|x|} (pois |\xi|\le|x|), obtemos
Agora, embora possamos tentar uma cota direta usando |1+\xi|\ge 1-|x|, isso levaria a uma potência (1-|x|)^{-(n+1)}, uma cota diferente. Em vez disso, é mais simples usar o desenvolvimento em série conhecido de \ln(1+x) e o teste da série alternada, que dá uma cota ainda mais forte e então implica a cota pedida:
portanto (a_k) é monotonicamente decrescente e tende a 0. Assim a série é alternada com termos decrescentes de módulo →0, e pelo teste da série alternada o resto ao truncar após n termos satisfaz
é verdadeira (é uma cota mais frouxa) e está demonstrada indiretamente por mostrar a cota alternada mais forte. Intuição: o desenvolvimento de \ln(1+x) é uma série alternada com termos que caem rápido, por isso o resto é pequeno (no máximo o próximo termo).
Passo 6
(d) Quanto a T_{n}(1) aproximando e com erro <10^{-6}.
Vemos que 9!<2{,}718\times10^{6} mas 10! = 3{,}628{,}800>2{,}718\times10^{6}. Assim n+1=10 é suficiente, isto é n=9.
Verificação numérica rápida: \dfrac{e}{10!}\approx \dfrac{2{,}71828}{3{,}628{,}800}\approx 7{,}49\times10^{-7}<10^{-6}. Para n=8 teríamos \dfrac{e}{9!}\approx 7{,}49\times10^{-6} que ainda é >10^{-6}. Logo o menor n desejado é n=9.
Passo 7
(e) Quanto a T_{n}(0.5) aproximando \ln 1{,}5 com erro <10^{-4}.
Pelo item (c) (ou melhor, pelo teste da série alternada que usamos lá), para |x|<1 temos a cota mais simples
\left|R_{n}(x)\right|\le\frac{|x|^{n+1}}{n+1}.
Tomando x=0{,}5, queremos
\frac{0{,}5^{\,n+1}}{n+1}<10^{-4}.
Testando valores (faço os cálculos passo a passo):
Assim a_{n-1}=-4n^{2}a_n, e portanto 4n^{2}a_n+a_{n-1}=0 para todo n\ge1. O coeficiente do x^{0} (caso n=0) também é zero pois o primeiro somatório começa em n=1. Portanto a soma é identicamente zero, e a série satisfaz a EDO pedida.
Essa é a série de Maclaurin de \operatorname{erf}(x).
Para aproximar \operatorname{erf}(0{,}5) com erro <10^{-4} uso o fato de que, para x>0, a série é alternada com termos de módulo decrescente (porque n! cresce muito), então o erro ao truncar após n é no máximo o módulo do próximo termo. Denotando o n-ésimo termo por
Logo, somando os primeiros quatro termos (índices n=0,1,2,3) e truncando aí, o próximo termo t_4 controla o erro e dá erro \le t_4\approx 1{,}02\times10^{-5}<10^{-4}.
O erro é \le t_4\approx 1{,}02\times10^{-5}. A verdade conhecida é \operatorname{erf}(0{,}5)\approx 0{,}5204998778, então nossa soma está a menos de 10^{-4} do valor exato, como requerido.
Passo 11
Função f(x)=e^{-1/x^{2}} (definida por 0 em x=0). Mostrar f^{(n)}(0)=0 para todo n e analisar a série de Taylor.
Ideia principal: e^{-1/x^{2}} tende a 0 mais rapidamente que qualquer potência de x quando x\to0. Em particular, para todo inteiro m\ge0,
\lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^{2}}}{x^{m}}=0.
Uma maneira de ver isso é fazer mudança de variável y=1/x. Para x\to0^{+}, y\to+\infty e
pois o fator exponencial domina qualquer potência polinomial. Pela simetria x\to0^{-} o mesmo vale (usando y=1/|x|). Portanto f(x) é “mais pequena” que qualquer x^{m}.
Para as derivadas em 0: pode-se provar por indução que para x\neq 0 cada derivada f^{(n)}(x) é da forma
f^{(n)}(x)=P_n\!\big(1/x\big)\,e^{-1/x^{2}}
onde P_n é um polinômio (com coeficientes reais) em 1/x. Assim f^{(n)}(x) é sempre igual a um polinômio em 1/x multiplicado pela função que vai a zero extremadamente rápido; tomando x\to0 (ou seja 1/x\to\infty) o fator exponencial vence o polinômio e f^{(n)}(x)\to0. Isso implica que os diferenciais centrados em 0 (ou as derivadas no ponto 0) são todos zero. Em termos práticos, usando a definição do derivada por limite:
e aplicando repetidamente o fato de que f^{(k)}(x) decai mais rápido que qualquer potência, obtemos f^{(n)}(0)=0 para todo n. Portanto a função é infinitamente diferenciável em 0 e todas as derivadas em 0 são 0.
Série de Taylor em x=0. A série de Taylor (Maclaurin) de f é
Ou seja, a série de Taylor é a série identicamente nula.
Convergência da série para f(x). A série de Taylor converge (é a série zero) para todo x e seu somatório é 0 para todo x. Porém f(x)=e^{-1/x^{2}} não é 0 quando x\neq 0. Portanto a série de Taylor não converge para f(x) exceto em x=0. Conclusão: a série de Taylor existe e é identicamente zero, mas não representa a função fora do ponto 0. Esse é o exemplo clássico de função “flat” em 0 (todas as derivadas zero) mas não igual à sua série de Taylor em vizinhança de 0.
(c) \left|R_{n}(x)\right| \leq \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)} (válido para |x|<1; observe que pela estimativa da série alternada temos a cota mais forte \left|R_n(x)\right|\le\dfrac{|x|^{n+1}}{n+1}).
Aproximação encontrada: \operatorname{erf}(0{,}5)\approx 0{,}5204899874 com erro \le 1{,}02\times10^{-5}<10^{-4}.
Para f(x)=e^{-1/x^{2}} (com f(0)=0): f^{(n)}(0)=0 para todo n; a série de Taylor em 0 é identicamente 0; essa série converge para 0 para todo x e portanto não converge para f(x) quando x\neq0.