Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
onde
é qualquer curva suave por partes no plano
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor para qualquer curva suave de
até
. O conteúdo principal aqui é reconhecer campos vetoriais conservativos (exatos) em
e usar a função potencial.
Passo 2
Definimos
Em um domínio simplesmente conectado (todo
), o campo é conservativo se e somente se
Calculando:
Como são iguais, o campo é exato e a integral independe do caminho.
Passo 3
Por ser exato, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Determinar
usando
:
Podemos tomar
já que só importa a diferença de
. Logo
Passo 5
A integral de linha de
a
vale simplesmente
Calculando cada termo:
Logo