Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
\int_{\gamma}\left(e^{x}+y\right) d x+(x+2 y) d y onde \gamma é qualquer curva suave por partes no plano x y de (0,1) a (2,3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
\int_{\gamma}(e^{x}+y)\,dx + (x+2y)\,dy
é independente do caminho e, em seguida, calcular seu valor para qualquer curva suave de (0,1) até (2,3). O conteúdo principal aqui é reconhecer campos vetoriais conservativos (exatos) em \mathbb{R}^2 e usar a função potencial.

Passo 2

Definimos
P(x,y)=e^{x}+y,\quad Q(x,y)=x+2y.
Em um domínio simplesmente conectado (todo \mathbb{R}^2), o campo é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculando:
\frac{\partial P}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=1.
Como são iguais, o campo é exato e a integral independe do caminho.

Passo 3

Por ser exato, existe uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P=e^{x}+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=x+2y.
Integramos P em x:
f(x,y)=\int (e^{x}+y)\,dx = e^{x}+xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Determinar h(y) usando \partial f/\partial y = Q:
\frac{\partial f}{\partial y} = x + h'(y) \stackrel{!}{=} x+2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^2 + C.
Podemos tomar C=0 já que só importa a diferença de f. Logo
f(x,y)=e^{x}+xy+y^2.

Passo 5

A integral de linha de (0,1) a (2,3) vale simplesmente
f(2,3)-f(0,1).
Calculando cada termo:
f(2,3)=e^2+2\cdot3+3^2=e^2+6+9=e^2+15,
f(0,1)=e^0+0\cdot1+1^2=1+0+1=2.
Logo
f(2,3)-f(0,1)=e^2+15-2=e^2+13.

Resposta

e^2 + 13

Exercícios relacionados