Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
onde
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
é independente do caminho (ou seja, é exata) em
, e depois calcular
ao longo da curva parametrizada por
ao longo da curva parametrizada por
Passo 2
Para ver que
é exata, basta verificar que o campo
com
é irrotacional. Calculamos o rotacional:
Como o domínio é
, simplesmente conexo,
admite potencial.
Passo 3
Vamos achar a função potencial
tal que
.
Integramos
Integramos
em relação a
, obtendo
Derivando isso em relação a
deve dar
:
Finalmente, de
vem
, logo
é constante que podemos desprezar.
Portanto
Portanto
é um potencial de
.
Passo 4
Pela independência de caminho,
Calculamos os pontos extremos:
Em cada um,
Passo 5
Concluímos que