Mostre que as integrais de linha são independentes do caminho, e calcule as integrais.
\int_{\gamma} y d x+(x+z) d y+y d z onde \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1} \vec{i}+\cos \pi t \vec{j}+ 2 t \sin \pi t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
\omega = y\,dx + (x+z)\,dy + y\,dz
é independente do caminho (ou seja, é exata) em \mathbb R^3, e depois calcular
\displaystyle \int_{\gamma}\omega
ao longo da curva parametrizada por
\vec r(t)=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-1}\,\mathbf i+\cos(\pi t)\,\mathbf j+2t\sin(\pi t)\,\mathbf k,\quad 0\le t\le\tfrac12.

Passo 2

Para ver que \omega é exata, basta verificar que o campo \mathbf F=(P,Q,R) com
P=y,\quad Q=x+z,\quad R=y
é irrotacional. Calculamos o rotacional:
\nabla\times\mathbf F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(1-1,\;0-0,\;1-1)=(0,0,0).
Como o domínio é \mathbb R^3, simplesmente conexo, \omega admite potencial.

Passo 3

Vamos achar a função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=\mathbf F.
Integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=y
em relação a x, obtendo
f(x,y,z)=xy + A(y,z).
Derivando isso em relação a y deve dar Q=x+z:
\frac{\partial f}{\partial y} =x + \frac{\partial A}{\partial y} \;=\;x+z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial A}{\partial y}=z \;\Longrightarrow\; A(y,z)=yz + B(z).
Finalmente, de
\frac{\partial f}{\partial z}=y + B'(z) \;=\;R=y
vem B'(z)=0, logo B é constante que podemos desprezar.
Portanto
f(x,y,z)=xy + yz
é um potencial de \omega.

Passo 4

Pela independência de caminho,
\int_{\gamma}\omega =f\bigl(\vec r(\tfrac12)\bigr)\;-\;f\bigl(\vec r(0)\bigr).
Calculamos os pontos extremos:
\vec r(0)=\Bigl(\frac{0^2+1}{0^2-1},\cos0,0\Bigr)=(-1,1,0),
\vec r(\tfrac12) =\Bigl(\frac{(\tfrac12)^2+1}{(\tfrac12)^2-1},\cos(\tfrac{\pi}{2}),2\cdot\tfrac12\sin(\tfrac{\pi}{2})\Bigr) =\Bigl(-\tfrac53,0,1\Bigr).
Em cada um,
f(-1,1,0)=(-1)\cdot1 + 1\cdot0 = -1, \qquad f\bigl(-\tfrac53,0,1\bigr)=\bigl(-\tfrac53\bigr)\cdot0 + 0\cdot1 = 0.

Passo 5

Concluímos que
\int_{\gamma}\omega = f\bigl(\vec r(\tfrac12)\bigr)-f\bigl(\vec r(0)\bigr) =0 - (-1) =1.

Resposta

\displaystyle 1

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