Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
f. integralgamma(sin y-y sin x+x) d x+(cos x+x cos y+ y) d y [ resp.: varphi(x, y)=x sin y+ y cos x+12(x^2+y^2)+C]

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos verificar se a forma diferencial ω = P(x,y),dx + Q(x,y),dy, com P(x,y) = sin y - y sin x + x e Q(x,y) = cos x + x cos y + y, é exata e determinar uma função potencial caso afirmativo. O conteúdo envolve cálculo de formas diferenciais exatas e condição de exatidão em ℝ^2.

Passo 2

Em ℝ^2, se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, a forma P,dx + Q,dy é exata (ou conservativa) se, e só se, ∂P∂y = ∂Q∂x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
∂P∂y = ddy(sin y - y sin x + x) = cos y - sin x,
∂Q∂x = ddx(cos x + x cos y + y) = -sin x + cos y.
Como cos y - sin x = -sin x + cos y, a condição de exatidão vale.

Passo 4

Logo, a forma é exata num domínio simplesmente conexo de ℝ^2 e existe função potencial φ(x,y) tal que dφ = P,dx + Q,dy.

Passo 5

Integramos P em relação a x:
φ(x,y) = integral (sin y - y sin x + x),dx = x sin y + y cos x + x^22 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Diferenciamos a expressão obtida em relação a y e igualamos a Q:
∂φ∂y = x cos y + cos x + h'(y) = cos x + x cos y + y
Daí obtemos h'(y) = y.

Passo 7

Integrando h'(y) = y, temos h(y) = y^22 + C. Substituindo em φ, obtemos:
φ(x,y) = x sin y + y cos x + x^22 + y^22 + C

Resposta

φ(x,y) = x sin y + y cos x + 12(x^2 + y^2) + C

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