Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
f.
resp.:
f.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos verificar se a forma diferencial
, com
e
, é exata e determinar uma função potencial caso afirmativo. O conteúdo envolve cálculo de formas diferenciais exatas e condição de exatidão em
.
Passo 2
Em
, se
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, a forma
é exata (ou conservativa) se, e só se,
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
,
.
Como , a condição de exatidão vale.
Como
Passo 4
Logo, a forma é exata num domínio simplesmente conexo de
e existe função potencial
tal que
.
Passo 5
Integramos
em relação a
:
onde é função a determinar.
onde
Passo 6
Diferenciamos a expressão obtida em relação a
e igualamos a
:
Daí obtemos .
Daí obtemos
Passo 7
Integrando
, temos
. Substituindo em
, obtemos: