Exercício 0.10 Dadas as funções a seguir, ache se possível o ponto de inflexão do gráfico de f e determine onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo.
g(x)=(1-2 x)^3.

Passo 1

O enunciado pede para a função g(x)=(1-2x)^3 encontrarmos o ponto de inflexão e as regiões de concavidade. O conteúdo envolve derivadas de função composta, segunda derivada e teste de concavidade.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada g'(x) usando a regra da cadeia. Se g(x) = h(u(x)) com h(u)=u^3 e u(x)=1-2x, então
block::
[ g'(x)=h'(u(x))cdot u'(x)=3(1-2x)^2cdot(-2)=-6(1-2x)^2]

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada g''(x) derivando g'(x)=-6(1-2x)^2 de novo por cadeia:
block::
[ g''(x)=-6cdot2(1-2x)cdot(-2)=24(1-2x)]

Passo 4

Para achar o ponto de inflexão, fazemos g''(x)=0:
block::
[1-2x=0\implies x=\tfrac12)]
Calculamos a ordenada associada:
block::
[ g(tfrac12)=(1-2cdottfrac12)^3=(1-1)^3=0]
Logo, o ponto de inflexão é (tfrac12,0).

Passo 5

Para saber onde g é côncavo para cima, observamos onde g''(x)>0:
block::
[24(1-2x)>0\iff1-2x>0\iff x<\tfrac12)]
E para concavidade para baixo, onde g''(x)<0:
block::
[24(1-2x)<0\iff x>\tfrac12)]

Resposta

Ponto de inflexão em (tfrac12,0). Gráfico côncavo para cima para x e côncavo para baixo para x>tfrac12.

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