Exercício 0.10 Dadas as funções a seguir, ache se possível o ponto de inflexão do gráfico de
e determine onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
encontrarmos o ponto de inflexão e as regiões de concavidade. O conteúdo envolve derivadas de função composta, segunda derivada e teste de concavidade.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
usando a regra da cadeia. Se
com
e
, então
block::
[ ]
block::
[
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
de novo por cadeia:
block::
[ ]
block::
[
Passo 4
Para achar o ponto de inflexão, fazemos
:
block::
[1-2x=0\implies x=\tfrac12)]
Calculamos a ordenada associada:
block::
[ ]
Logo, o ponto de inflexão é .
block::
[1-2x=0\implies x=\tfrac12)]
Calculamos a ordenada associada:
block::
[
Logo, o ponto de inflexão é
Passo 5
Para saber onde
é côncavo para cima, observamos onde
:
block::
[24(1-2x)>0\iff1-2x>0\iff x<\tfrac12)]
E para concavidade para baixo, onde :
block::
[24(1-2x)<0\iff x>\tfrac12)]
block::
[24(1-2x)>0\iff1-2x>0\iff x<\tfrac12)]
E para concavidade para baixo, onde
block::
[24(1-2x)<0\iff x>\tfrac12)]
Resposta
Ponto de inflexão em
. Gráfico côncavo para cima para
e côncavo para baixo para
.