Mostre que
integral arctg(x)1+x^2 d x=12 arctg^2(x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de . O conteúdo é Integração por Substituição, pois há uma parte da derivada de presente no denominador. Vamos usar isso a nosso favor.

Passo 2

Definimos a substituição . Sabemos da derivada da função arco-tangente que
u = arctg(x)

Passo 3

Com isso, podemos reescrever a integral original. Observamos que
dx = (1+x^2),du
mas é mais direto notar que a parte dfracdx1+x^2 é exatamente du. Logo,

Passo 4

Agora basta integrar u em relação a u. A primitiva de u é
u^22 + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original substituindo , o que fornece a resposta desejada.

Resposta

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