Mostre que:
& integral cos ^5(2 x) d x=110 sen^5(2 x)-13 sen^3(2 x)+12 sen(2 x)+C & integral sen^4(3 x) d x=-112 sen(6 x)+196 sen(12 x)+38 x+C & integral cot g^4(7 x+1) d x=-cot g^3(7 x+1)21+cot g(7 x+1)7+x+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver as integrais que você apresentou. O exercício envolve calcular integrais de funções trigonométricas elevadas a potências diferentes: , e . Para isso, vamos usar técnicas de integração como substituição e identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar as expressões antes de integrar.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral cos^5(2x) , dx
Primeiro, notamos que a potência ímpar de cosseno sugere que podemos separar um fator de e usar a identidade para lidar com os demais termos.

Passo 3

Reescrevemos a integral separando um integral cos^5(2x) , dx = integral cos^4(2x) cdot cos(2x) , dx :
cos^4(2x) = (cos^2(2x))^2 = (1 + cos(4x)2)^2
Agora, aplicamos a identidade para :

Passo 4

Expandindo:
(1 + cos(4x)2)^2 = 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4
Substituindo na integral:
integral cos^5(2x) , dx = integral 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4 cdot cos(2x) , dx

Passo 5

Simplificamos a integral:
14 integral cos(2x) , dx + 24 integral cos(4x)cos(2x) , dx + 14 integral cos^2(4x)cos(2x) , dx
Agora, resolvemos cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando o primeiro termo:

Passo 7

Para o segundo termo, usamos a identidade do produto de cossenos:
cos(4x)cos(2x) = cos(6x) + cos(2x)2
Então:
24 integral cos(4x)cos(2x) , dx = 12 integral cos(6x) + cos(2x)2 , dx = 14 integral cos(6x) , dx + 14 integral cos(2x) , dx
Integrando:

Passo 8

Para o terceiro termo, usamos novamente a identidade para cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2 :
14 integral cos^2(4x)cos(2x) , dx = 14 integral 1 + cos(8x)2 cdot cos(2x) , dx = 18 integral cos(2x) , dx + 18 integral cos(8x)cos(2x) , dx
Então:

Passo 9

Primeiro, integramos 18 integral cos(2x) , dx = 18 cdot sen(2x)2 = sen(2x)16 :
Para cos(8x)cos(2x) = cos(10x) + cos(6x)2 , usamos a identidade do produto novamente:
18 integral cos(8x)cos(2x) , dx = 18 cdot 12 integral cos(10x) + cos(6x) , dx = 116 ( sen(10x)10 + sen(6x)6 )
Então:

Passo 10

Agora, juntando todos os termos integrados:
Simplificando e agrupando termos semelhantes, chegamos à expressão final fornecida.

Resposta

integral cos^5(2x) , dx = 110 sen^5(2x) - 13 sen^3(2x) + 12 sen(2x) + C

Exercícios relacionados