Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver as integrais que você apresentou. O exercício envolve calcular integrais de funções trigonométricas elevadas a potências diferentes:
, e
. Para isso, vamos usar técnicas de integração como substituição e identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar as expressões antes de integrar.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, notamos que a potência ímpar de cosseno sugere que podemos separar um fator de
e usar a identidade
para lidar com os demais termos.
Passo 3
Reescrevemos a integral separando um
:
Agora, aplicamos a identidade
para
:
Passo 4
Expandindo:
Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificamos a integral:
Agora, resolvemos cada termo separadamente.
Passo 6
Integrando o primeiro termo:
Passo 7
Para o segundo termo, usamos a identidade do produto de cossenos:
Então:
Integrando:
Passo 8
Para o terceiro termo, usamos novamente a identidade para
:
Então:
Passo 9
Primeiro, integramos
:
Para
, usamos a identidade do produto novamente:
Então:
Passo 10
Agora, juntando todos os termos integrados:
Simplificando e agrupando termos semelhantes, chegamos à expressão final fornecida.