Seja f(x) = log_3(raiz(1 + 2^x)).
(a) Determine a derivada de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso:

Passo 4

Para derivar , precisamos lembrar que a derivada de em relação a é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos encontrar . Como , a derivada de é zero, e a derivada de é . Então:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da derivada do logaritmo:

Passo 7

Lembrando que , usamos a constante na derivada:

Passo 8

Finalmente, podemos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de é:

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